本题导读
本题考查等差数列的前 项和公式，以及等差数列的片段和性质。
📌【题干】
Question
（1996年全国卷(理)） 等差数列 的前 项和为 30，前 项和为 100，则它的前 项和为 ()
A. 130 B. 170 C. 210 D. 260
🔍【思路分析】
破题导航
运用片段和性质（秒杀法）：在等差数列中，依次每 项的和组成的新的数列 ，， 仍然构成等差数列。 列出片段代数式：
- 第一段和：
- 第二段和：
- 第三段和： 建立等差方程求解：利用 这一公差平衡关系，直接一步解出 的数值。
✅【答案】
Success
C
✍【详细解析】
Abstract
方法一：片段和性质法（推荐）
根据等差数列的几何性质，连续相等的片段项之和： 这三项 组成一个新的等差数列。
将已知数据 和 代入可得：
根据等差中项性质，新等差数列的公差 。 从而可以求出第三个片段和：
因为 ，所以前 项和为：
方法二：方程组基本功法
设等差数列的首项为 ，公差为 。由前 项和公式 ，可将公式变形为关于项数的二次函数形式：（其中 ）。 因此，可以将 统一写成关于变量 的函数：
这是一个关于 和 的二元一次方程组。 由 ② ① 得：
将 代入 ① 式：
现在求前 项和 的代数式： 将算得的整体变量 和 直接代入：
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心考点：等差数列片段和的等差性质；前 项和通式中基本量因式组合的整体代换。 核心方法：“片段和性质法”。在面对类似 这种成等差比例倍数项数求和的选择题时，用片段和性质可以完全避开首项与公差的繁琐方程，属于标准的秒杀技巧。 避坑指南：
- 片段项漏减陷阱：极易直接将 当成等差数列，误认为 从而错选 B。必须明确：是“片段项之和”（即每一截增量）成等差数列，而不是原先的总和成等差。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：本题属于等差数列基本性质板块的经典压轴选择题，直接取材于教材中“等差数列前 项和性质”章节后的标准思考与延伸习题。 结论推广： 对于任意等差数列，若已知前 项和为 ，前 项和为 ，则其前 项和 的通用代数解析式可直接通过片段和公差（）归纳为以下一键秒杀公式： 本题验证：将 直接带入该推广通式： 这一公式在高考数列大题第二问的快速心算验算中具有核心提速价值。
🔗【关联脉络】
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