1998-全国卷文-25 解-等差数列通项与比较大小

本题导读

本题考查等差数列通项与对数比较大小。核心在于由前 $n$ 项和定公差，再用比值放缩证明 $S_n$ 与 $\frac{1}{2}\lg b_n+1$ 的大小关系。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(文)） 已知数列 $\{b_n\}$ 是等差数列，$b_1=1$，$b_1+b_2+\cdots +b_{10}=145$.

(1) 求数列 $\{b_n\}$ 的通项 $b_n$；

(2) 设数列 $\{a_n\}$ 的通项 $a_n=\lg \left(1+\frac{1}{b_n}\right)$（其中 $a>0$，且 $a\ne 1$），记 $S_n$ 是数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和.试比较 $S_n$ 与 $\frac{1}{2}\lg b_n+1$ 的大小，并证明你的结论.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $b_1=1$ 与前 $10$ 项和 $145$ 定公差，得 $b_n=3n-2$。
2. 把 $S_n$ 写成乘积的对数，构造 $R_n$ 并用比值放缩证明 $S_n<\frac{1}{2}\lg b_n+1$。

✅【答案】

Success

(1) $b_n=3n-2$；(2) $S_n<\frac{1}{2}\lg b_n+1$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设等差数列 $\{b_n\}$ 的公差为 $d$。由 $b_1=1$ 和前 $10$ 项和公式，得 $145=\frac{10}{2}(2+9d)$，所以 $d=3$，从而 $b_n=1+3(n-1)=3n-2$。 (2) 由此 $b_n>0$，且 $a_n=\lg \left(1+\frac{1}{b_n}\right)=\lg \frac{3n-1}{3n-2}$。令 $P_n={\prod }_{k=1}^n\frac{3k-1}{3k-2}$，则 $S_n={\sum }_{k=1}^n\lg \frac{3k-1}{3k-2}=\lg P_n$。令 $R_n=\frac{P_n}{\sqrt{b_n}}=\frac{1}{\sqrt{3n-2}}{\prod }_{k=1}^n\frac{3k-1}{3k-2}$。为判断 $R_n$ 的大小，计算得 ${\left(\frac{R_{n+1}}{R_n}\right)}^2=\frac{(3n+2{)}^2(3n-2)}{(3n+1{)}^3}$。又 $(3n+1{)}^3-(3n-2)(3n+2{)}^2=9n^2+21n+9>0$，所以 $R_{n+1}<R_n$。由于 $R_1=2$，可得 $R_n⩽2<10$，即 $P_n<10\sqrt{b_n}$。取常用对数并利用 $\lg x$ 的增性，得 $S_n=\lg P_n<\lg (10\sqrt{b_n})=1+\frac{1}{2}\lg b_n$。因此，对任意正整数 $n$，都有 $S_n<\frac{1}{2}\lg b_n+1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列通项与比较大小

核心方法：$145=\frac{10}{2}(2+9d)$ 得 $d=3$，$b_n=3n-2$；；$S_n=\lg {\prod }_{k=1}^n\frac{3k-1}{3k-2}$，设 $R_n=\frac{1}{\sqrt{3n-2}}{\prod }_{k=1}^n\frac{3k-1}{3k-2}$，由 $(\frac{R_{n+1}}{R_n}{)}^2=\frac{(3n+2{)}^2(3n-2)}{(3n+1{)}^3}<1$ 且 $R_1=2$ 得 $R_n\le 2<10$，故 $S_n<1+\frac{1}{2}\lg b_n$

避坑指南：差分定公差 + 比值放缩

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材等差数列与对数

结论推广：一般地，比较 $S_n$ 与 $\frac{1}{2}\lg b_n+1$ 用等比放缩

方法推广：差分定公差比值放缩

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 1999-上海文-10 填-等差数列前n项和的最大值
• 2000-大纲文-18 解-等差数列前n项和与Tn
• 2000-大纲文-07 单-对数式的比较大小