1992-上海-25 解-数列极限与大小比较

本题导读

本题考查数列极限与大小比较。核心在于分公比是否等于 $1$ 讨论等比数列极限，并作差比较大小。

📌【题干】

Question

（1992年上海卷） 已知数列 $\{a_n\}$，$a_n>0$（$n=1,2,3,\cdots$），它的前 $n$ 项和记为 $S_n$.(1)如果 $\{a_n\}$ 是一个首项为 $a$、公比为 $q$（$0<q\le 1$）的等比数列，求 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{S_n}{S_{n+1}}$；(2)如果 $\{a_n\}$ 是一个首项为 $3$、公差为 $1$ 的等差数列，试比较 $S_n$ 与 $3n\cdot a_n$ 的大小.

🔍【思路分析】

破题导航

（1）分 $q=1$ 与 $0<q<1$ 讨论 $S_n$ 的极限比；（2）写出 $S_n$ 与 $3n{a}_n$ 作差判断符号。

✅【答案】

Success

(1)$q=1$ 时为 $1$，$0<q<1$ 时为 $\frac{1+q}{a}\cdot \frac{1}{q}$（化简为 $\frac{1+q}{1}$）；(2)$S_n<3n{a}_n$

✍【详细解析】

Abstract

（1）当 $q=1$ 时，$S_n=na$，$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{S_n}{S_{n+1}}=\lim \frac{na}{(n+1)a}=1$。当 $0<q<1$ 时，$S_n=\frac{a(1-q^n)}{1-q}$，$\lim S_n=\frac{a}{1-q}$，故 $\lim \frac{S_n}{S_{n+1}}=1$。（2）$\{a_n\}$ 为首项 $3$、公差 $1$ 的等差数列，$a_n=n+2$，$S_n=\frac{n(3+n+2)}{2}=\frac{n(n+5)}{2}$。$3n{a}_n=3n(n+2)=3n^2+6n$，$S_n=\frac{n^2+5n}{2}$，作差 $3n{a}_n-S_n=3n^2+6n-\frac{n^2+5n}{2}=\frac{5n^2+7n}{2}>0$，故 $S_n<3n{a}_n$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列极限与大小比较

核心方法：（1）$q=1$ 时 $\frac{1}{a}$，$0<q<1$ 时 $\frac{1+q}{a}$；（2）比较 $S_n$ 与 $3n{a}_n$

避坑指南：等比数列极限

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列极限与大小比较

结论推广：等比数列与等差平方数列

方法推广：极限运算

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-25 解-等差数列通项与比较大小
• 1999-全国卷文-20 解-递推数列与极限
• 1993-新高考文-26 解-数学归纳法证明数列猜想