1999-全国卷文-20 解-递推数列与极限

本题导读

本题考查数列的递推关系与极限。核心在于由 $a_n=5S_n-3$ 定出等比数列，再求奇数项和的极限。

📌【题干】

Question

（1999年全国卷(文)） 数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和记为 $S_n$，已知 $a_n=5S_n-3$（$n\in \mathbf{N}$），求 $\underset{n\to \infty }{\lim }(a_1+a_3+\cdots +a_{2n-1})$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 得递推式。
2. 由 $a_1=5S_1-3$ 定首项，得等比数列。
3. 求奇数项等比数列和的极限。

✅【答案】

Success

$\frac{4}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

当 $n\ge 2$ 时，由 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 及已知条件，得 $a_n-a_{n-1}=5(S_n-S_{n-1})=5a_n$，所以 $a_n=-\frac{1}{4}{a}_{n-1}$。当 $n=1$ 时，$S_1=a_1$，于是 $a_1=5S_1-3=5a_1-3$，解得 $a_1=\frac{3}{4}$。因此数列 $\{a_n\}$ 是首项为 $\frac{3}{4}$、公比为 $-\frac{1}{4}$ 的等比数列。于是奇数项组成首项为 $a_1=\frac{3}{4}$、公比为 ${\left(-\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{1}{16}$ 的等比数列，故 $a_1+a_3+\cdots +a_{2n-1}=\frac{3}{4}\cdot \frac{1-{\left(\frac{1}{16}\right)}^n}{1-\frac{1}{16}}$。所以 $\underset{n\to \infty }{\lim }(a_1+a_3+\cdots +a_{2n-1})=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{16}}=\frac{4}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：递推数列与极限

核心方法：$a_n=S_n-S_{n-1}$，$a_n=5S_n-3$ 相减得 $a_n=-\frac{1}{4}{a}_{n-1}$，$a_1=\frac{3}{4}$，公比 $-\frac{1}{4}$；奇数项公比 $\frac{1}{16}$，极限 $=\frac{3/4}{1-1/16}=\frac{4}{5}$

避坑指南：由和差定等比再求极限

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材数列的递推与极限

结论推广：一般地，$a_n=S_n-S_{n-1}$ 定递推

方法推广：和差定递推求极限

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2001-上海文-06 填-等比数列极限与首项范围
• 2003-北京文-08 单-分段等比数列极限
• 2004-上海卷文-04 填-等比数列极限