1999-广东-21 解-折线函数的数列极限与分段表达

本题导读

本题考查新定义折线函数的数列通项、极限与分段表达。核心在于由斜率定义得差分递推 $x_n-x_{n-1}={\left(\frac{1}{b}\right)}^{n-1}$，累加求通项，再按 $b$ 的范围分类讨论极限与定义域。

📌【题干】

Question

（1999年广东卷） 已知函数 $y=f(x)$ 的图像是自原点出发的一条折线.当 $n⩽y⩽n+1$（$n=0$，$1$，$2$，$\cdots$）时，该图像是斜率为 $b^n$ 的线段（其中正常数 $b\ne 1$）.设数列 $\{x_n\}$ 由 $f(x_n)=n$（$n=1$，$2$，$\cdots$）定义.

(1) 求 $x_1$，$x_2$ 和 $x_n$ 的表达式；

(2) 计算 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$；

(3) 求 $f(x)$ 的表达式，并写出其定义域.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $f(0)=0$、$f(x_1)=1$ 与首段斜率 $b^0=1$ 得 $x_1=1$，进而得 $x_2$。
2. 第 $n$ 段斜率 $b^{n-1}$ 给出 $x_n-x_{n-1}={\left(\frac{1}{b}\right)}^{n-1}$，累加求 $x_n$。
3. 按 $b>1$ 与 $0<b<1$ 分类求极限；由各段斜率写出分段 $f(x)$ 并确定定义域。

✅【答案】

Success

(1) $x_1=1$，$x_2=1+\frac{1}{b}$，$x_n=\frac{b-{\left(\frac{1}{b}\right)}^{n-1}}{b-1}$

(2) $b>1$ 时为 $\frac{b}{b-1}$，$0<b<1$ 时不存在

(3) $f(x)=x$（$0⩽x⩽1$），$f(x)=n+b^n(x-x_n)$（$x_n⩽x⩽x_{n+1}$，$n=1,2,\cdots$），定义域 $b>1$ 时为 $\left(0,\frac{b}{b-1}\right)$，$0<b<1$ 时为 $(0,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由题意 $f(0)=0$，且 $f(x_1)=1$。当 $0⩽y⩽1$ 时，图像斜率为 $b^0=1$，故 $x_1=1$。又 $f(x_2)=2$，当 $1⩽y⩽2$ 时，图像斜率为 $b$，所以 $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=b$，即 $x_2=1+\frac{1}{b}$。设 $x_0=0$。 由第 $n$ 段线段的斜率为 $b^{n-1}$，有 $\frac{f(x_n)-f(x_{n-1})}{x_n-x_{n-1}}=b^{n-1}$，而 $f(x_n)=n$，$f(x_{n-1})=n-1$，故 $x_n-x_{n-1}={\left(\frac{1}{b}\right)}^{n-1}$（$n=1,2,\cdots$）。于是 $x_n=1+\frac{1}{b}+\cdots +{\left(\frac{1}{b}\right)}^{n-1}=\frac{b-{\left(\frac{1}{b}\right)}^{n-1}}{b-1}$。 (2) 若 $b>1$，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\frac{b}{b-1}$。若 $0<b<1$，则 $x_n\to +\infty$，故 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$ 不存在。 (3) 当 $0⩽y⩽1$ 时，$y=x$，即当 $0⩽x⩽1$ 时，$f(x)=x$。当 $n⩽y⩽n+1$ 时，$x_n⩽x⩽x_{n+1}$，由该段线段的斜率为 $b^n$，得 $f(x)=n+b^n(x-x_n)$（$n=1,2,\cdots$）。故 $f(x)=\{\begin{array}{ll}x,& 0⩽x⩽1,\\ n+b^n(x-x_n),& x_n⩽x⩽x_{n+1},n=1,2,\cdots ,\end{array}$ 其中 $x_n=\frac{b-{\left(\frac{1}{b}\right)}^{n-1}}{b-1}$。当 $b>1$ 时，定义域为 $\left(0,\frac{b}{b-1}\right)$；当 $0<b<1$ 时，定义域为 $(0,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：折线函数的数列极限与分段表达

核心方法：$x_n-x_{n-1}={\left(\frac{1}{b}\right)}^{n-1}$ 累加得 $x_n=\frac{b-{\left(\frac{1}{b}\right)}^{n-1}}{b-1}$；；$b>1$ 时极限 $\frac{b}{b-1}$，$0<b<1$ 时发散；；$f(x)=x$（$0⩽x⩽1$），$f(x)=n+b^n(x-x_n)$（$x_n⩽x⩽x_{n+1}$），定义域 $b>1$ 为 $\left(0,\frac{b}{b-1}\right)$、$0<b<1$ 为 $(0,+\infty )$

避坑指南：斜率定义递推累加 + 分类讨论

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材函数与数列综合（新定义折线函数）

结论推广：一般地，由斜率定义得差分递推，累加求通项，再按公比范围分类求极限与定义域

方法推广：差分递推 + 累加 + 分类讨论

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 1999-全国卷文-20 解-递推数列与极限
• 2001-上海文-06 填-等比数列极限与首项范围
• 1999-上海文-18 解-等比数列对数和的极限