1997-上海文-06 单-数列差分求和

本题导读

本题考查数列前 $n$ 项和的差分，以及 $f(n+1)-f(n)$ 的计算。

📌【题干】

Question

（1997年上海卷(文)） 设 $f(n)=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\cdots +\frac{1}{2n}$（$n\in \mathbb{N}$），那么 $f(n+1)-f(n)$ 等于()

A. $\frac{1}{2n+1}$　　B. $\frac{1}{2n+2}$　　　C. $\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}$　　　D. $\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出 $f(n+1)$ 与 $f(n)$。
2. 相减时前后项相消。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

$f(n+1)=\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}$，$f(n)=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n}$。相减得 $f(n+1)-f(n)=\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{2}{2n+2}=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列差分求和

核心方法：$f(n+1)-f(n)=\left(\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n+2}\right)-\left(\frac{1}{n+1}+\cdots +\frac{1}{2n}\right)=\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}$，选 D

避坑指南：前后项相消

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材数列求和

结论推广：一般地，$f(n+1)-f(n)$ 用前后项相消

方法推广：前后项相消

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 1998-上海理-10 填-等差中项与数列求和
• 1999-上海理-18 解-等比数列对数和的极限
• 1998-全国卷文-25 解-等差数列通项与比较大小