1991-全国文-24 解-等差与等比数列综合

本题导读

本题考查等差与等比数列综合。核心在于由指数变换构造等比数列，利用中项关系求通项。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(文)） 设 $\{a_n\}$ 是等差数列，$b_n={\left(\frac{1}{2}\right)}^{a_n}$.已知 $b_1+b_2+b_3=\frac{21}{8}$，$b_1{b}_2{b}_3=\frac{1}{8}$，求等差数列的通项 $a_n$.

🔍【思路分析】

破题导航

$\{b_n\}$ 为等比数列，用等比中项求 $b_2$，再求 $b_1,b_3$ 反解 $a_n$。

✅【答案】

Success

$a_n=2n-3$ 或 $a_n=5-2n$

✍【详细解析】

Abstract

因 $\{a_n\}$ 等差，$\{b_n\}$ 为等比数列，故 $b_2^2=b_1{b}_3$。由 $b_1{b}_2{b}_3=\frac{1}{8}$ 得 $b_2^3=\frac{1}{8}$，又 $b_2>0$，故 $b_2=\frac{1}{2}$。于是 $b_1+b_3=\frac{21}{8}-\frac{1}{2}=\frac{17}{8}$，$b_1{b}_3=\frac{1/8}{1/2}=\frac{1}{4}$。故 $b_1,b_3$ 是方程 $t^2-\frac{17}{8}t+\frac{1}{4}=0$ 的两根，即 $8t^2-17t+2=0$，解得 $t=2$ 或 $t=\frac{1}{8}$。当 $(b_1,b_3)=(2,\frac{1}{8})$ 时，$(a_1,a_2,a_3)=(-1,1,3)$，$a_n=2n-3$；交换两端得 $(a_1,a_2,a_3)=(3,1,-1)$，$a_n=5-2n$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差与等比数列综合

核心方法：$b_n=(\frac{1}{2}{)}^{a_n}$ 等比，$b_2=\frac{1}{2}$，$b_1,b_3$ 为 $2,\frac{1}{8}$，$a_n=2n-3$ 或 $5-2n$

避坑指南：构造等比数列

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差与等比数列综合

结论推广：指数变换构等比

方法推广：构造等比

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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• 1998-全国卷文-25 解-等差数列通项与比较大小
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