1990-全国卷理-21 解-等差等比数列综合

本题导读

本题考查等差数列的性质（等差中项）、等比数列的性质（等比中项）。核心在于待定系数设元法、代入消元法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1990年全国卷(理)） 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和是 12.求这四个数.

🔍【思路分析】

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1. 合理设元：设这四个数分别为 $x_1,x_2,x_3,x_4$。为了简化运算，可以优先利用“第二个数与第三个数的和是 12”以及等差、等比中项的性质来减少未知数个数。
2. 列出方程组：
   • 前三个数 $x_1,x_2,x_3$ 成等差数列 $⟹2x_2=x_1+x_3$；
   • 后三个数 $x_2,x_3,x_4$ 成等比数列 $⟹x_3^2=x_2\cdot x_4$；
   • 结合和的条件：$x_1+x_4=16$ 且 $x_2+x_3=12$。
3. 消元求解：由 $x_2+x_3=12$ 设 $x_2=12-x_3$，代入等差中项式用 $x_3$ 表示出 $x_1$，进而用 $x_3$ 表示出 $x_4$，最后代入等比中项方程，求解一元高次方程。

✅【答案】

Success

$0,4,8,16$ 或 $15,9,3,1$

✍【详细解析】

Abstract

解：设这四个数分别为 $x_1,x_2,x_3,x_4$。 由题意可得以下方程组： $\{\begin{array}{ll}2x_2=x_1+x_3& \text{(1)}\\ x_3^2=x_2\cdot x_4& \text{(2)}\\ x_1+x_4=16& \text{(3)}\\ x_2+x_3=12& \text{(4)}\end{array}$

由方程④得： $x_2=12-x_3\text{⑤}$

将⑤代入方程①中，消去 $x_2$，得： $2(12-x_3)=x_1+x_3⟹24-2x_3=x_1+x_3⟹x_1=24-3x_3\text{⑥}$

将⑥代入方程③中，消去 $x_1$，得： $(24-3x_3)+x_4=16⟹x_4=3x_3-8\text{⑦}$

将⑤和⑦代入方程②中，消去 $x_2$ 和 $x_4$，得到关于 $x_3$ 的一元二次方程： $x_3^2=(12-x_3)(3x_3-8)$

展开并整理右边项： $x_3^2=36x_3-96-3x_3^2+8x_3$ $x_3^2=-3x_3^2+44x_3-96$

移项合并同类项，得： $4x_3^2-44x_3+96=0$

两边同除以 4，化简为： $x_3^2-11x_3+24=0$

利用因式分解（十字相乘法）： $(x_3-3)(x_3-8)=0$

解得： $x_3=3$ 或 $x_3=8$。

将 $x_3$ 的值分别代入⑤、⑥、⑦中求出其余各项：

1. 当 $x_3=3$ 时： $x_2=12-3=9$ $x_1=24-3(3)=15$ $x_4=3(3)-8=1$ 此时这四个数为：$15,9,3,1$。

2. 当 $x_3=8$ 时： $x_2=12-8=4$ $x_1=24-3(8)=0$ $x_4=3(8)-8=16$ 此时这四个数为：$0,4,8,16$。

综上所述，这四个数分别为 $15,9,3,1$ 或 $0,4,8,16$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差中项（$2b=a+c$）与等比中项（$b^2=ac$）的代数模型构建，高维非线性方程组的消元化简。
2. 核心方法：整体代换与单变量化法。由于未知数多达4个，消元容易导致阶数失控。本题通过紧扣 $x_2+x_3=12$ 这一线性强关联项，将所有变量统一用 $x_3$ 表达，从而完美将四元方程组降维成一元二次方程。
3. 避坑指南：
   • 等比数列公比为零的误区：第二组解中 $x_1=0$，部分考生会惯性认为等比数列不能含有 $0$。需要明确，成等比数列的是后三个数（$4,8,16$），其公比 $q=2\ne 0$。第一个数 $x_1$ 属于等差部分，取 $0$ 完全合乎题意，不宜主观漏解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的数列交汇基本代数题，源自教材中对“等差与等比混合数列”问题的基本运算训练，旨在考查学生多变量控制下的方程组解算基本功。
2. 结论推广：若将限制条件一般化，设前三项公差为 $d$，后三项公比为 $q$，四项分别为 $a,a+d,a+2d,(a+2d)q$。这类“前半段线性增长、后半段指数增长”的混合序列模型，在经济学金融数学的“非均匀复合利息流”和工程信号处理的特定阶梯脉冲计数中有着广泛的应用背景。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 1992-全国文-28 解-等差数列前n项和的最值
• 1991-三南-28 解-等差等比数列通项综合
• 1991-全国文-24 解-等差与等比数列综合