1992-全国文-28 解-等差数列前n项和的最值

本题导读

本题考查等差数列前 $n$ 项和的最值。核心在于由和的符号条件确定公差范围。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(文)） 设等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$.已知 $a_3=12$，$S_{12}>0$，$S_{13}<0$.

(1)求公差 $d$ 的取值范围；

(2)指出 $S_1,S_2,\cdots ,S_{12}$ 中哪一个值最大，并说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

$a_3=a_1+2d=12$；$S_{12}=12(a_1+6d)>0$、$S_{13}=13(a_1+6d)<0$ 联立解 $d$；$S_n$ 二次函数开口向下顶点处最大，$S_6$ 最大。

✅【答案】

Success

(1) $-\frac{24}{7}<d<-3$

(2) $S_6$ 最大

✍【详细解析】

Abstract

（1）$a_3=a_1+2d=12$，故 $a_1=12-2d$。$S_{12}=12a_1+66d=144+42d>0$，得 $d>-\frac{24}{7}$；$S_{13}=13a_1+78d=156+52d<0$，得 $d<-3$。故 $-\frac{24}{7}<d<-3$。 （2）因 $d<0$，$S_n=\frac{d}{2}{n}^2+\left(a_1-\frac{d}{2}\right)n$ 是开口向下的二次函数，$S_n$ 取最大值当且仅当 $a_n\ge 0$ 且 $a_{n+1}\le 0$。$a_6=a_1+5d=12+3d$，$a_7=a_1+6d=12+4d$。由 $-\frac{24}{7}<d<-3$：$a_6=12+3d\in \left(\frac{12}{7},3\right)>0$ 恒成立；$a_7=12+4d\in \left(-\frac{12}{7},0\right)<0$ 恒成立。故 $a_6>0>a_7$，$S_6$ 最大。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列前n项和的最值

核心方法：$a_3=12$、$S_{12}>0$、$S_{13}<0$ 得 $-\frac{24}{7}<d<-3$，$S_6$ 最大

避坑指南：前n项和关于n的二次函数开口向下

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于等差数列

结论推广：前n项和二次函数求最值

方法推广：开口向下顶点最大

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 1993-上海-25 解-等差数列的判定与直线
• 1994-全国卷文-25 解-等差数列的证明
• 1999-上海文-10 填-等差数列前n项和的最大值