1994-全国卷文-25 解-等差数列的证明

本题导读

本题考查等差数列的证明。核心在于由前 $n$ 项和公式，用数学归纳法证明通项满足等差数列定义。

📌【题干】

Question

（1994年全国卷(文)） 设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若对于所有的自然数 $n$，都有 $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，证明 $\{a_n\}$ 是等差数列.

🔍【思路分析】

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1. 令 $d=a_2-a_1$。
2. 用数学归纳法证 $a_n=a_1+(n-1)d$。

✅【答案】

Success

见解析

✍【详细解析】

Abstract

设 $d=a_2-a_1$。下面用数学归纳法证明 $a_n=a_1+(n-1)d$（$n\in \mathbf{N}$）。 (1)当 $n=1$ 时，$a_1=a_1$ 成立；当 $n=2$ 时，$a_2=a_1+d$ 成立。 (2)假设当 $n=k$（$k\ge 2$）时命题成立，即 $a_k=a_1+(k-1)d$。由题设 $S_k=\frac{k(a_1+a_k)}{2}$、$S_{k+1}=\frac{(k+1)(a_1+a_{k+1})}{2}$。又 $S_{k+1}=S_k+a_{k+1}$，故 $\frac{(k+1)(a_1+a_{k+1})}{2}=\frac{k(a_1+a_k)}{2}+a_{k+1}$。整理得 $(k+1)(a_1+a_{k+1})=k(a_1+a_k)+2a_{k+1}$，即 $(k+1)a_1+(k+1)a_{k+1}=k{a}_1+k{a}_k+2a_{k+1}$，$(k-1)a_{k+1}=k{a}_k-a_1$。把 $a_k=a_1+(k-1)d$ 代入，得 $(k-1)a_{k+1}=k[a_1+(k-1)d]-a_1=(k-1)a_1+k(k-1)d$。因 $k\ge 2$，$k-1\ne 0$，故 $a_{k+1}=a_1+kd$，即当 $n=k+1$ 时命题也成立。 由(1)(2)知，对一切 $n\in \mathbf{N}$，$a_n=a_1+(n-1)d$，故 $\{a_n\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列的证明

核心方法：令 $d=a_2-a_1$，用数学归纳法证 $a_n=a_1+(n-1)d$。由 $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$ 及 $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ 递推得证

避坑指南：前 n 项和定义 + 数学归纳法

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材等差数列

结论推广：一般地，前 n 项和定义结合数学归纳法

方法推广：前 n 项和定义 + 数学归纳法

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 1995-全国卷文-14 单-等差数列前 n 项和之比与极限
• 1996-全国卷文-13 单-等差数列前 3m 项和
• 1999-上海理-10 填-等差数列前n项和的最大值