1992-全国卷理-27 解-等差数列前n项和的最值

本题导读

本题考查等差数列的通项公式与前 $n$ 项和公式、等差数列的性质（对称性与中项性质）。核心在于基本量法（用 $a_1$ 和 $d$ 表示）、性质法（利用 $S_n$ 的中项性质快速判定符号）的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(理)） 设等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$.已知 $a_3=12$，$S_{12}>0$，$S_{13}<0$.

(1) 求公差 $d$ 的取值范围；

(2) 指出 $S_1,S_2,\dots ,S_{12}$ 中哪一个值最大，并说明理由.

🔍【思路分析】

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第(1)问思路：

1. 统一基本量：将已知量全部用首项 $a_1$ 和公差 $d$ 表示。由 $a_3=12⟹a_1+2d=12⟹a_1=12-2d$。
2. 列出不等式组：利用等差数列求和公式 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$，分别写出 $S_{12}$ 和 $S_{13}$ 关于 $a_1,d$ 的代数式，并将 $a_1=12-2d$ 代入。
3. 求解范围：联立 $S_{12}>0$ 和 $S_{13}<0$ 得到关于 $d$ 的一元一次不等式组，求解交集。

第(2)问思路：

1. 通项符号判定法：等差数列前 $n$ 项和取最大值的充要条件是：当且仅当所有正数项全部加完，且尚未加上负数项。即若 $a_k>0$ 且 $a_{k+1}<0$，则 $S_k$ 最大。
2. 求出关键项取值：将第(1)问中求得的 $d$ 的范围代入到通项公式中，去逐一评估 $a_6,a_7,a_8$ 等中项的符号，找出变号位置。

✅【答案】

Success

(1) $-\frac{24}{7}<d<-3$

(2) $S_6$ 的值最大

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求公差 $d$ 的取值范围

解： 设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$。 由已知 $a_3=12$，得： a_1 + 2d = 12 \implies a_1 = 12 - 2d \tag{1}

根据等差数列前 $n$ 项和公式 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$，写出 $S_{12}$ 和 $S_{13}$ 的表达式： $S_{12}=12a_1+\frac{12\times 11}{2}d=12a_1+66d$ $S_{13}=13a_1+\frac{13\times 12}{2}d=13a_1+78d$

将 (1) 式 $a_1=12-2d$ 代入上述两个要求中：

1. 由 $S_{12}>0$ 得： $12(12-2d)+66d>0$ $144-24d+66d>0⟹42d>-144⟹d>-\frac{144}{42}=-\frac{24}{7}$

2. 由 $S_{13}<0$ 得： $13(12-2d)+78d<0$ $156-26d+78d<0⟹52d<-156⟹d<-\frac{156}{52}=-3$

联立以上两个范围，得到公差 $d$ 的取值范围为： $-\frac{24}{7}<d<-3$

(2) 指出 $S_1,S_2,\dots ,S_{12}$ 中哪一个值最大，并说明理由

解： 结论： $S_6$ 的值最大。

理由如下（方法一：邻项变号法）： 由第(1)问可知，公差 $d<-3<0$，说明该等差数列是一个单调递减数列。 前 $n$ 项和 $S_n$ 的增减性由通项 $a_n$ 的正负号决定（因为 $S_n-S_{n-1}=a_n$）。当 $a_n>0$ 时， $S_n$ 递增；当 $a_n<0$ 时， $S_n$ 递减。

我们用 $d$ 的代数式来表示通项 $a_6$ 和 $a_7$： $a_6=a_3+3d=12+3d$ $a_7=a_3+4d=12+4d$

根据第(1)问求出的范围 $-\frac{24}{7}<d<-3$：

1. 评估 $a_6$ 的符号： 因为 $d>-\frac{24}{7}$，所以： $a_6=12+3d>12+3\times \left(-\frac{24}{7}\right)=12-\frac{72}{7}=\frac{12}{7}>0$ 即 $a_6>0$。

2. 评估 $a_7$ 的符号： 因为 $d<-3$，所以： $a_7=12+4d<12+4\times (-3)=12-12=0$ 即 $a_7<0$。

因为 $a_6>0$ 且 $a_7<0$，且数列单调递减，说明： 该数列从第 1 项到第 6 项均为正数（$a_1>a_2>\cdots >a_6>0$），从第 7 项开始往后全部变为负数（$0>a_7>a_8>\dots$）。

因此，前 $n$ 项和在把所有正数项加完时达到最大值，即当 $n=6$ 时， $S_6$ 最大。

理由如下（方法二：中项性质巧解法，更简洁推荐）： 根据等差数列的前 $n$ 项和中项性质：

• S_{12} = \frac{12(a_1 + a_{12})}{2} = 6(a_6 + a_7) > 0 \implies a_6 + a_7 > 0 \tag{2}
• S_{13} = \frac{13(a_1 + a_{13})}{2} = 13a_7 < 0 \implies a_7 < 0 \tag{3}

由 (3) 知 $a_7$ 为负数，将其代入 (2) 式 $a_6+a_7>0$，为了使相加大于 0， $a_6$ 必须为正数且其绝对值大于 $a_7$。 即： $a_6>0\text{且}{a}_7<0$ 由于公差 $d=a_7-a_6<0$，数列递减。 由此可断定数列前 6 项均为正，第 7 项开始为负。故 $S_1,S_2,\dots ,S_{12}$ 中 $S_6$ 的值最大。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列通项与求和的基本量运算，前 $n$ 项和最值与通项正负号的内在关联。
2. 核心方法：
   • 邻项变号法：寻找使得 $a_k>0,a_{k+1}<0$ 的临界项 $k$。
   • 对称中项法）：奇数项和 $S_{2k-1}=(2k-1)a_k$，偶数项和 $S_{2k}=k(a_k+a_{k+1})$。利用这两个公式性质可以完全绕开第(1)问的公差范围，直接口算出 $a_7<0$ 和 $a_6+a_7>0$。
3. 避坑指南：第(1)问中化简分数时要注意不等号方向。例如 $13(12-2d)+78d=156+52d<0⟹52d<-156⟹d<-3$。计算务必精准，若边界值算错会直接连带导致第(2)问定号失败。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于等差数列最值板块的常青树题型。直接改编自旧教材中“等差数列前 $n$ 项和的最值”这一经典核心例题，是历年高考考查数列代数推理能力的代表性作。
2. 结论推广：对于任意公差 $d<0$ 的等差数列，若已知 $S_{2k}>0$ 且 $S_{2k+1}<0$，则由对称性质可无条件直接推出 $a_{k+1}<0$ 且 $a_k+a_{k+1}>0⟹a_k>0$。该数列的前 $n$ 项和必在 $n=k$ 处取得最大值。本题中 $2k=12⟹k=6$，故 $S_6$ 必然最大。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 1993-上海-25 解-等差数列的判定与直线

• 1994-全国卷文-25 解-等差数列的证明

• 1999-上海文-10 填-等差数列前n项和的最大值