1994-上海-26 解-等比数列与递推数列的最值

本题导读

本题考查等比数列与递推数列。核心在于由相邻乘积的等比关系推出新数列的等比性并求最值。

📌【题干】

Question

（1994年上海卷） 已知数列 $\{a_n\}$ 满足条件：$a_1=1$，$a_2=r$（$r>0$），且 $\{a_n{a}_{n+1}\}$ 是公比为 $q$（$q>0$）的等比数列，设 $b_n=a_{2n-1}+a_{2n}$（$n=1,2,\dots$）.

(1)求出使不等式 $a_n{a}_{n+1}+a_{n+1}{a}_{n+2}>a_{n+2}{a}_{n+3}$（$n\in \mathbb{N}$）成立的 $q$ 的取值范围；

(2)求 $b_n$ 和 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{S_n}$，其中 $S_n=b_1+b_2+\cdots +b_n$；

(3)设 $r=2^{19.2}-1$，$q=\frac{1}{2}$，求数列 $\left\{\frac{{\log }_2{b}_{n+1}}{{\log }_2{b}_n}\right\}$ 的最大项和最小项的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由等比条件把不等式化为关于 $q$ 的不等式。
2. 求 $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ 证明 $\{b_n\}$ 等比。
3. 分离变量求 $c_n$ 的最值。

✅【答案】

Success

(1) $0<q<\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

(2) $b_n=(1+r)q^{n-1}$，$\lim \frac{1}{S_n}=\{\begin{array}{ll}\frac{1-q}{1+r},& 0<q<1\\ 0,& q\ge 1\end{array}$

(3) 最大项 $c_{21}=2.25$，最小项 $c_{20}=-4$

✍【详细解析】

Abstract

(1)由题意得 $r{q}^{n-1}+r{q}^n>r{q}^{n+1}$。因 $r>0$、$q>0$，得 $q^2-q-1<0$，解得 $\frac{1-\sqrt{5}}{2}<q<\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。又 $q>0$，故 $0<q<\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。 (2)$\frac{a_{n+1}{a}_{n+2}}{a_n{a}_{n+1}}=\frac{a_{n+2}}{a_n}=q$，故 $\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{a_{2n+1}+a_{2n+2}}{a_{2n-1}+a_{2n}}=\frac{q(a_{2n-1}+a_{2n})}{a_{2n-1}+a_{2n}}=q$。又 $b_1=1+r$，故 $\{b_n\}$ 是首项 $1+r$、公比 $q$ 的等比数列，$b_n=(1+r)q^{n-1}$。 当 $q=1$ 时 $S_n=n(1+r)$，$\lim \frac{1}{S_n}=0$；当 $0<q<1$ 时 $S_n=\frac{(1+r)(1-q^n)}{1-q}$，$\lim \frac{1}{S_n}=\frac{1-q}{1+r}$；当 $q>1$ 时 $\lim \frac{1}{S_n}=0$。故 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{S_n}=\{\begin{array}{ll}\frac{1-q}{1+r},& 0<q<1\\ 0,& q\ge 1\end{array}$。 (3)由(2)$b_n=(1+r)q^{n-1}$，故 $c_n=\frac{{\log }_2{b}_{n+1}}{{\log }_2{b}_n}=\frac{{\log }_2(1+r)+n{\log }_{2}q}{{\log }_2(1+r)+(n-1){\log }_{2}q}$。 当 $r=2^{19.2}-1$、$q=\frac{1}{2}$ 时，${\log }_2(1+r)=19.2$、${\log }_{2}q=-1$，故 $c_n=1+\frac{1}{n-20.2}$。 当 $n\ge 21$ 时 $n-20.2>0$，$c_n$ 随 $n$ 增大而减小，$1<c_n\le c_{21}=1+\frac{1}{21-20.2}=2.25$；当 $n\le 20$ 时 $n-20.2<0$，$c_n$ 随 $n$ 增大而减小，$1>c_n\ge c_{20}=1+\frac{1}{20-20.2}=-4$。综上，最大项 $c_{21}=2.25$，最小项 $c_{20}=-4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列与递推数列的最值

核心方法：(1) $r{q}^{n-1}+r{q}^n>r{q}^{n+1}$ 得 $q^2-q-1<0$，$0<q<\frac{1+\sqrt{5}}{2}$；(2) $b_n=(1+r)q^{n-1}$，$\lim \frac{1}{S_n}=\frac{1-q}{1+r}$（$0<q<1$）或 $0$（$q\ge 1$）；(3) $c_n=1+\frac{1}{n-20.2}$，最大 $c_{21}=2.25$、最小 $c_{20}=-4$

避坑指南：等比递推 + 分离变量求最值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材等比数列与递推

结论推广：一般地，等比递推、分离变量求最值

方法推广：等比递推 + 分离变量求最值

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 1995-上海理-25 解-二次函数与圆的递推关系
• 1996-上海文-24 解-数列的通项与公共项
• 1994-全国卷文-25 解-等差数列的证明