1996-全国卷理-10 单-等比数列的前n项和

本题导读

本题考查等比数列的前 $n$ 项和公式，以及无穷递缩等比数列的极限。

📌【题干】

Question

（1996年全国卷(理)） 等比数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1=-1$，前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $\frac{S_{10}}{S_5}=\frac{31}{32}$，则 ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n$ 等于 ()

A. $\frac{2}{3}$　　　　　　B. $-\frac{2}{3}$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $-2$

🔍【思路分析】

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化简已知比例式：对于等比数列的前 $n$ 项和，其具有结构特征 $\frac{S_{2k}}{S_k}=1+q^k$（在 $q\ne 1$ 且 $S_k\ne 0$ 的前提下）。可据此直接建立关于公比 $q$ 的方程。 求解公比 $q$：由 $\frac{S_{10}}{S_5}=1+q^5=\frac{31}{32}$ 解出 $q^5$ 及公比 $q$，并验证其是否满足无穷递缩等比数列的收敛条件（$|q|<1$）。 求极限值：利用无穷递缩等比数列求和极限公式 ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=\frac{a_1}{1-q}$，代入已知首项 $a_1=-1$ 和求得的公比 $q$，锁定最终正确选项。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$。

通过比例关系求出公比 $q$ 若 $q=1$，则 $S_{10}=10a_1$，$S_5=5a_1$，此时 $\frac{S_{10}}{S_5}=2\ne \frac{31}{32}$，故 $q\ne 1$。

当 $q\ne 1$ 时，代入前 $n$ 项和公式： $S_5=\frac{a_1(1-q^5)}{1-q},S_{10}=\frac{a_1(1-q^{10})}{1-q}$

两式相除进行化简： $\frac{S_{10}}{S_5}=\frac{\frac{a_1(1-q^{10})}{1-q}}{\frac{a_1(1-q^5)}{1-q}}=\frac{1-q^{10}}{1-q^5}$

利用平方差公式对分子进行因式分解 $1-q^{10}=(1-q^5)(1+q^5)$，约去公因式得： $\frac{S_{10}}{S_5}=1+q^5$

根据题意，有： $1+q^5=\frac{31}{32}⟹q^5=\frac{31}{32}-1=-\frac{1}{32}$ 因为 ${\left(-\frac{1}{2}\right)}^5=-\frac{1}{32}$，所以解得： $q=-\frac{1}{2}$

求前 $n$ 项和的极限 ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n$ 因为 $|q|=\left|-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}<1$，故该数列为无穷递缩等比数列，当 $n\to \infty$ 时，$q^n\to 0$。

代入求和极限公式： ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=\frac{a_1}{1-q}=\frac{-1}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{-1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{-1}{\frac{3}{2}}=-\frac{2}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列前 $n$ 项和的因式约分性质（片段和特征）；无穷递缩等比数列收敛极限公式。 核心方法：“片段整体代换法”。熟记并应用 $\frac{S_{2k}}{S_k}=1+q^k$ 这个二级结论，能有效规避展开复杂通分方程的计算量，属于客观题的关键提速手段。 避坑指南：

• 符号反向陷阱：在计算 $q^5=-\frac{1}{32}$ 时，若由于粗心漏看负号，会导致算成 $q=\frac{1}{2}$，从而代入计算出 $\frac{-1}{1-1/2}=-2$，从而错选 D。
• 极限公式的分母是 $1-q$，必须严格注意公式本身自带的负号与公比负号的负负得正转换。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于等比数列与极限板块的典型交汇题。直接取材于教材中“无穷递缩等比数列的所有项之和”章节的课后巩固习题。 结论推广： 对于任意公比为 $q$ 的等比数列，其前 $k$ 项和、前 $2k$ 项和、前 $3k$ 项和存在固定的代数分式链关系：

• $\frac{S_{2k}}{S_k}=1+q^k$
• $\frac{S_{3k}}{S_k}=1+q^k+q^{2k}$ 若已知 $S_k$ 与 $S_{2k}$ 的比例为 $\lambda$，且满足收敛约束 $|\lambda -1|<1$，则该数列的穷极之和（极限）与首项的关系可固化为单参数映射通式： ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=\frac{a_1}{1-(\lambda -1{)}^{\frac{1}{k}}}$ 这一结论在处理高等金融学中的分期永续年金现值计算（如每隔固定周期调整一次现金流的折现模型）中被广泛作为标准公式使用。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-15 单-等比数列公比与极限
• 1999-上海文-18 解-等比数列对数和的极限
• 1997-全国卷文-21 解-等差等比中项求通项