1991-全国卷理-07 单-等比数列的性质

本题导读

本题考查等比数列的性质，以及完全平方公式。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(理)）已知 ${a_{n}}$ 是等比数列，且 $a_{n} > 0$ ， $a_{2} a_{4} + 2 a_{3} a_{5} + a_{4} a_{6} = 25$ ，那么 $a_{3} + a_{5}$ 的值等于 ()

A. 5　　　　　　　　　B. 10　　　　　　　　　C. 15　　　　　　　　　D. 20

🔍【思路分析】

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性质代换：根据等比数列的性质，对于公差或下标成等差数列的项，有 $a_{2} a_{4} = a_{3}^{2}$ 且 $a_{4} a_{6} = a_{5}^{2}$ 。

结构识别：将上述等值代换代入已知条件中，得到 $a_{3}^{2} + 2 a_{3} a_{5} + a_{5}^{2} = 25$ 。

完全平方化简：识别出左边为完全平方公式结构，化为 $(a_{3} + a_{5})^{2} = 25$ ，再结合数列项均为正数，开方求得结果。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

因为 ${a_{n}}$ 是等比数列，由等比中项的性质可得： $a_{2} a_{4} = a_{3}^{2}$ $a_{4} a_{6} = a_{5}^{2}$

将这两个关系式代入已知方程 $a_{2} a_{4} + 2 a_{3} a_{5} + a_{4} a_{6} = 25$ 中，得： $a_{3}^{2} + 2 a_{3} a_{5} + a_{5}^{2} = 25$

利用完全平方公式进行因式分解，得： $(a_{3} + a_{5})^{2} = 25$

因为 $a_{n} > 0$ ，所以 $a_{3} + a_{5} > 0$ 。两边开平方根可得： $a_{3} + a_{5} = 5$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列的性质 $a_{m} \cdot a_{n} = a_{p} \cdot a_{q}$ （其中 $m + n = p + q$ ）。

核心方法：整体代换与完全平方公式的构造。

避坑指南：开方时必须注意项的正负号性质。本题明确给出了 $a_{n} > 0$ ，因此可以直接舍去负根 $- 5$ ；在其他未说明项正负的题目中，需注意公比 $q$ 的正负对邻项之和的影响。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于等比数列性质考查的经典基础题，源于教材中等比数列性质的综合课后习题，主要训练学生对下标加法性质（ $2 + 4 = 3 + 3$ ）的敏感度。

结论推广：在等比数列 ${a_{n}}$ ( $a_{n} > 0$ ) 中，若已知 $a_{m - 1} a_{m + 1} + 2 a_{m} a_{m + 2} + a_{m + 1} a_{m + 3} = K^{2}$ ( $K > 0$ )，则必有 $a_{m} + a_{m + 2} = K$ 。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

1992-三南-14 单-等比数列的运算

1993-旧高考文-07 单-等比数列与对数求和

1995-全国卷文-23 解-等比数列前 n 项和的对数不等式证明

∑ ( Math )

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