1989-上海-27 解-等比数列和的比较

本题导读

本题考查等比数列前 n 项和的比较。核心在于由 bₙ 与 aₙ 的关系分类讨论。

📌【题干】

Question

（1989年上海卷） 已知等比数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1>0$，公比 $q>-1$ 且 $q\ne 0$.设数列 $\{b_n\}$ 的通项 $b_n=a_{n+1}+a_{n+2}$（$n\in \mathbf{N}$），数列 $\{a_n\}$，$\{b_n\}$ 的前 $n$ 项的和分别记为 $A_n$，$B_n$.试比较 $A_n$ 与 $B_n$ 的大小.

🔍【思路分析】

破题导航

由 bₙ=aₙ(q²+q) 得 Bₙ=(q²+q)Aₙ，比较 q²+q−1 的符号。

✅【答案】

Success

当 $-1<q<\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 且 $q\ne 0$ 时 $A_n>B_n$；当 $q=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 时 $A_n=B_n$；当 $q>\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 时 $A_n<B_n$

✍【详细解析】

Abstract

因 $b_n=a_{n+1}+a_{n+2}=a_n(q^2+q)$，得 $B_n=(q^2+q)A_n$。当 $q>0$ 时 $a_n=a_1{q}^{n-1}>0$ 故 $A_n>0$；当 $-1<q<0$ 时 $A_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}>0$。故总有 $A_n>0$。$B_n-A_n=A_n(q^2+q-1)=A_n\left(q+\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(q-\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$。因 $q+\frac{\sqrt{5}+1}{2}>0$（$q>-1$），符号由 $q-\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 决定：当 $-1<q<\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 且 $q\ne 0$ 时 $A_n>B_n$；当 $q=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 时 $A_n=B_n$；当 $q>\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 时 $A_n<B_n$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列和的比较

核心方法：由 bₙ 与 aₙ 关系比较前 n 项和。

避坑指南：等比数列比较

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列比较。

结论推广：Bₙ=(q²+q)Aₙ。

方法推广：分类讨论 q

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 1992-三南-14 单-等比数列的运算
• 1991-全国文-08 单-等比数列的性质
• 1990-广东文-22 单-等比数列的前n项和