1999-上海理-09 填-极坐标方程的焦点

本题导读

本题考查极坐标方程化直角坐标方程，以及双曲线焦点的求法。

📌【题干】

Question

（1999年上海卷(理)） 极坐标方程 $5{\rho }^2\cos 2\theta +{\rho }^2-24=0$ 所表示的曲线焦点的极坐标为　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 用 ${\rho }^2=x^2+y^2$、$x=\rho \cos \theta$ 化直角坐标。
2. 化为双曲线标准方程求焦点，再写极坐标。

✅【答案】

Success

$(\sqrt{10},0)$，$(\sqrt{10},\pi )$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1$，方程化为 ${\rho }^2\left(5\cos 2\theta +1\right)=24$，即 ${\rho }^2\left(10{\cos }^2\theta -4\right)=24$。以 $x=\rho \cos \theta$、${\rho }^2=x^2+y^2$ 代入得 $10x^2-4\left(x^2+y^2\right)=24$，即 $6x^2-4y^2=24$，也就是 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{6}=1$。这是双曲线，$a^2=4$，$b^2=6$，$c^2=a^2+b^2=10$，$c=\sqrt{10}$，焦点为 $(\pm \sqrt{10},0)$。化为极坐标即 $(\sqrt{10},0)$ 与 $(\sqrt{10},\pi )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极坐标方程的焦点

核心方法：${\rho }^2(5\cos 2\theta +1)=24$，化直角坐标 $10x^2-4(x^2+y^2)=24$ 即 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{6}=1$，$c=\sqrt{10}$，焦点 $(\sqrt{10},0)$ 与 $(\sqrt{10},\pi )$

避坑指南：极坐标化直角坐标

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材极坐标与圆锥曲线

结论推广：一般地，${\rho }^2=x^2+y^2$，$x=\rho \cos \theta$

方法推广：极坐标化直角坐标

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.08 一般曲线与方程
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 2007-新课标Ⅰ文-23 解-极坐标方程化直角坐标
• 2012-湖南卷文-10 填-极坐标方程交点
• 2010-广东卷文-15 填-极坐标交点