1999-广东-06 单-极坐标方程的对称性

本题导读

本题考查极坐标方程化直角坐标，以及圆的对称性。

📌【题干】

Question

（1999年广东卷） 在极坐标系中，曲线 $\rho =4\sin \left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)$ 关于()

A. 直线 $\theta =\frac{\pi }{3}$ 轴对称　　　　　　　　　　　　B. 直线 $\theta =\frac{5\pi }{6}$ 轴对称

C. 点 $\left(2,\frac{\pi }{3}\right)$ 中心对称　　　　　　　　　　　D. 极点中心对称

🔍【思路分析】

破题导航

1. 两边乘 $\rho$ 化直角坐标方程。
2. 配方得圆心与半径，求圆心对应的极角，圆关于过圆心的直线轴对称。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

两边乘 $\rho$：${\rho }^2=4\rho \sin \left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)=4\left(\rho \sin \theta \cdot \frac{1}{2}-\rho \cos \theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)=2y-2\sqrt{3}x$，即 $x^2+y^2+2\sqrt{3}x-2y=0$，配方得 ${\left(x+\sqrt{3}\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=4$。圆心 $\left(-\sqrt{3},1\right)$ 在第二象限，对应极角 $\theta =\frac{5\pi }{6}$。圆关于过圆心的直线轴对称，故曲线关于直线 $\theta =\frac{5\pi }{6}$ 轴对称，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极坐标方程的对称性

核心方法：$\rho =4\sin (\theta -\frac{\pi }{3})$ 化直角坐标得 ${\left(x+\sqrt{3}\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=4$，圆心对应极角 $\frac{5\pi }{6}$，圆关于过圆心的直线轴对称

避坑指南：极坐标化直角坐标 + 圆的对称轴

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材极坐标系与圆的方程

结论推广：一般地，$\rho =2r\sin (\theta -\phi )$ 表示过极点的圆，对称轴为 $\theta =\phi +\frac{\pi }{2}$

方法推广：极坐标化直角坐标 + 圆的对称轴

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.08 一般曲线与方程
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 2007-新课标Ⅰ文-23 解-极坐标方程化直角坐标
• 2008-广东文-14 填-极坐标曲线交点
• 1999-上海理-09 填-极坐标方程的焦点