1984-全国卷理-13 解-乘积型极坐标方程的几何意义

本题导读

本题考查乘积型极坐标方程的几何意义。

📌【题干】

Question

（1984年全国卷(理)） 画出极坐标方程 $(\rho -2)\left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)=0(\rho >0)$ 的曲线.

🔍【思路分析】

破题导航

方程等价于 $\rho =2$ 或 $\theta =\frac{\pi }{4}$，二者并集。

✅【答案】

Success

圆 $\rho =2$ 与射线 $\theta =\frac{\pi }{4}$ 的并集

✍【详细解析】

Abstract

由零因子性质，方程等价于 $\rho =2$ 或 $\theta =\frac{\pi }{4}$。$\rho =2$ 表示以极点为圆心、半径为 $2$ 的圆；$\theta =\frac{\pi }{4}$ 且 $\rho >0$ 表示从极点出发、倾角为 $\frac{\pi }{4}$ 的射线。故曲线为圆与射线的并集。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：乘积型极坐标方程的几何意义

核心方法：零因子分解

避坑指南：乘积为 0 等价于各因子为 0 的并集，ρ>0 时为射线

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：极坐标方程的几何意义

结论推广：ρ=R 为圆，θ=α 为射线

方法推广：乘积型方程表示曲线并集

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 2001-大纲理-05 单-极坐标方程与直角坐标方程的互化
• 1999-广东-06 单-极坐标方程的对称性