1993-新高考文-19 填-含参数分式的极限

本题导读

本题考查含参数分式数列的极限，以及主导项的判断。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(文)） 设 $a>1$，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1-a^{n+1}}{1+a^{n-1}}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

分子 $-a^{n+1}$、分母 $a^{n-1}$ 主导，极限 $=-a^2$。

✅【答案】

Success

$-a^2$

✍【详细解析】

Abstract

分子分母同除 $a^{n-1}$：$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{1}{a^{n-1}}-a^2}{\frac{1}{a^{n-1}}+1}$。因 $a>1$，$\frac{1}{a^{n-1}}\to 0$，故极限 $=\frac{0-a^2}{0+1}=-a^2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含参数分式的极限

核心方法：分子 $-a^{n+1}$、分母 $a^{n-1}$ 主导，极限 $=-a^2$

避坑指南：$a>1$ 时取增长最快的项之比

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于数列极限

结论推广：$a>1$ 时 $a^{n+1}$ 与 $a^{n-1}$ 主导极限

方法推广：按指数差定极限值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.02 阿波罗尼斯圆

类题演练 (Links)

• 1993-旧高考文-24 填-数列的极限
• 1994-上海文-02 填-有理式的极限
• 1996-上海理-16B 填-函数的极限