1984-全国卷理-10 解-指数型分式极限

本题导读

本题考查指数型分式极限。

📌【题干】

Question

（1984年全国卷(理)） 求 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1-2^n}{3^n+1}$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

分子分母同除以 $3^n$，利用 $|q|<1$ 时 $q^n\to 0$。

✅【答案】

Success

$0$

✍【详细解析】

Abstract

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1-2^n}{3^n+1}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(\frac{1}{3}{)}^n-(\frac{2}{3}{)}^n}{1+(\frac{1}{3}{)}^n}$。因 $|\frac{1}{3}|<1$、$|\frac{2}{3}|<1$，当 $n\to \infty$ 时 $(\frac{1}{3}{)}^n\to 0$、$(\frac{2}{3}{)}^n\to 0$，分母 $\to 1$，故极限 $=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数型分式极限

核心方法：同除以最大底

避坑指南：同除 3^n，使公比均 <1，再利用 q^n→0

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列极限的求解

结论推广：同除以最大底数使公比 <1

方法推广：分子分母同次幂比较

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 1993-新高考文-19 填-含参数分式的极限
• 2006-广东卷-11 填-分式极限化简