1977-江西-18 解-非负之和与无穷等比

本题导读

本题考查绝对值与平方的非负性。核心在于两项同时为零列方程组解出 $a$，$b$，再按无穷等比数列求和公式 $S=\frac{a_1}{1-q}$ 收尾。

📌【题干】

Question

（1977年江西卷） 若 $5\left|\frac{a+2b-3}{b+1}\right|+3(a+3b{)}^2=0$，求出无穷数列 $ab$，$b$，$\frac{b}{a}$，$\cdots$ 的和.

🔍【思路分析】

破题导航

绝对值与平方均非负，其和为零则各项为零：$\frac{a+2b-3}{b+1}=0$ 且 $a+3b=0$（$b\ne -1$），解得 $b=-3$，$a=9$；数列 $-27,-3,-\frac{1}{3},\cdots$ 公比 $\frac{1}{9}$，代入求和公式。

✅【答案】

Success

$a=9$，$b=-3$，和为 $-\frac{243}{8}$（即 $-30\frac{3}{8}$）

✍【详细解析】

Abstract

由已知，得 $\frac{a+2b-3}{b+1}=0$，$a+3b=0$，且 $b\ne -1$，即 $a+2b-3=0$，$a+3b=0$。 两式相减得 $b-3=-3$，所以 $b=-3$，$a=9$。 则得无穷数列：$-27$，$-3$，$-\frac{1}{3}$，$\cdots$。其首项为 $-27$，公比为 $\frac{-3}{-27}=\frac{1}{9}$，且 $\left|q\right|=\frac{1}{9}<1$。故此无穷数列的和为 $s=\frac{-27}{1-\frac{1}{9}}=\frac{-27}{\frac{8}{9}}=-27\times \frac{9}{8}=-\frac{243}{8}$（即 $-30\frac{3}{8}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：非负之和与无穷等比

核心方法：非负之和为零

避坑指南：绝对值与平方同时为零列方程组；无穷等比 $S=\frac{a_1}{1-q}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：求和

结论推广：$a=9$，$b=-3$，$S=-\frac{243}{8}$

方法推广：|非负之和为零各为零

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 1992-全国文-19 填-无穷等比级数的和
• 2012-上海卷文-07 填-无穷等比数列求和