1985-全国文-17 解-等比数列的极限

本题导读

本题考查等比数列的前 $n$ 项和与数列极限。核心在于对公比 $q$ 分段讨论。

📌【题干】

Question

（1985年全国卷(文)） 设首项为 $1$，公比为 $q$（$q>0$）的等比数列的前 $n$ 项之和为 $S_n$. 又设 $T_n=\frac{S_n}{S_{n+1}}$，$n=1,2,\cdots$. 求 $\underset{n\to \infty }{\lim }{T}_n$.

🔍【思路分析】

破题导航

按 $0<q<1$、$q=1$、$q>1$ 三段分别求 $T_n$ 的极限。

✅【答案】

Success

$0<q\le 1$ 时极限为 $1$；$q>1$ 时极限为 $\frac{1}{q}$

✍【详细解析】

Abstract

当 $0<q<1$ 时，$S_n=\frac{1-q^n}{1-q}$，所以 $T_n=\frac{S_n}{S_{n+1}}=\frac{1-q^n}{1-q^{n+1}}\to 1$。当 $q=1$ 时，$S_n=n$，所以 $T_n=\frac{n}{n+1}\to 1$。当 $q>1$ 时，$T_n=\frac{q^n-1}{q^{n+1}-1}=\frac{1-q^{-n}}{q\left(1-q^{-(n+1)}\right)}\to \frac{1}{q}$。因此 $\underset{n\to \infty }{\lim }{T}_n=1$（$0<q\le 1$）；$\underset{n\to \infty }{\lim }{T}_n=\frac{1}{q}$（$q>1$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列的极限

核心方法：$T_n=\frac{S_n}{S_{n+1}}$ 按 $0<q<1$、$q=1$、$q>1$ 三段。

避坑指南：极限 $=\begin{array}{c}1(0<q\le 1)\\ \frac{1}{q}(q>1)\end{array}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：1989 全国文第 4 题同考等比数列极限。

结论推广：$\lim \frac{S_n}{S_{n+1}}$ 对公比分段讨论。

方法推广：$q>1$ 时分子分母同除 $q^{n+1}$（最高阶项）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 1989-全国文-04 单-等比数列与数列极限
• 1987-广东文-28 填-数列的极限