1998-全国卷理-15 单-等比数列前n项和极限

本题导读

本题考查等比数列的前 $n$ 项和极限，以及一元二次方程的判别式。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(理)） 在等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1>1$，且前 $n$ 项和 $S_n$ 满足 ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=\frac{1}{a_1}$，那么 $a_1$ 的取值范围是()

A. $(1,+\infty )$　　　　B. $(1,4)$　　　　C. $(1,2)$　　　　D. $(1,\sqrt{2})$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析极限存在条件：等比数列前 $n$ 项和的极限 ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n$ 存在且不为 0，说明该数列必为无穷递缩等比数列，公比 $q$ 必须满足 $|q|<1$。
2. 列出极限方程：利用无穷递缩等比数列求和公式，将已知条件写为 $\frac{a_1}{1-q}=\frac{1}{a_1}$。
3. 转化为关于 $q$ 的方程：由方程变形得 $1-q=a_1^2⟹q=1-a_1^2$。
4. 建立不等式组求解：将 $q=1-a_1^2$ 代入核心约束 $|q|<1$ 中，结合已知条件 $a_1>1$，联立求解不等式组，确定 $a_1$ 的精确范围。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$。 因为前 $n$ 项和 $S_n$ 的极限 ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n$ 存在且不为 0，所以该数列为无穷递缩等比数列，公比满足： $|q|<1⟹-1<q<1\text{(1)}$

根据无穷递缩等比数列求和公式，有： ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=\frac{a_1}{1-q}$

结合题意 ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=\frac{1}{a_1}$，可得： $\frac{a_1}{1-q}=\frac{1}{a_1}⟹a_1^2=1-q$

由此解出公比 $q$ 关于 $a_1$ 的代数式： $q=1-a_1^2\text{(2)}$

将②式代入①式的约束范围中，得： $-1<1-a_1^2<1$

将该双边不等式拆解为不等式组： $\{\begin{array}{l}1-a_1^2<1\\ 1-a_1^2>-1\end{array}⟹\{\begin{array}{l}{a}_1^2>0\\ a_1^2<2\end{array}$

由于 $a_1>1$，等式 $a_1^2>0$ 恒成立。由 $a_1^2<2$ 且 $a_1>0$ 可解得： $0<a_1<\sqrt{2}$

联立已知条件 $a_1>1$，求其交集可得 $a_1$ 的取值范围为： $1<a_1<\sqrt{2}$

即 $a_1\in (1,\sqrt{2})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：无穷递缩等比数列求和公式 $S=\frac{a_1}{1-q}$ 的适用范围（$|q|<1$）；简单一元二次不等式组的求解。 核心方法：主元代换法。将限制条件作用于中间变量 $q$，通过代数变形将关于 $q$ 的范围转化为关于核心目标变量 $a_1$ 的不等式。 避坑指南：

• 忽视极限存在对公比的隐性约束：极易直接从 $a_1^2=1-q$ 出发，误认为只要 $q<1$ 即可保证 $1-q>0$，从而漏掉 $q>-1$ 的左边界控制，最终错选 A。
• 特殊值验证排除法：作为选择题，可通过取特殊值快速筛选。若取 $a_1=2$，代入等式有 $2^2=1-q⟹q=-3$。此时 $|q|=3>1$，前 $n$ 项和呈摆动发散状态，极限不存在。因此 $a_1=2$ 错误，排除 A、B、C，直接锁定 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题考查人教版老教材中“无穷等比数列各项的和”这一微积分初步内容。将数列求和的极限与不等式逻辑交汇，考查对极限收敛性基本条件的深度理解。 结论推广：若等比数列的首项 $a_1>0$，其前 $n$ 项和的极限满足 ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=(a_1{)}^k(k\in \mathbb{R})$，则满足该极限存在的首项 $a_1$ 取值范围规律为： $\frac{a_1}{1-q}=a_1^k⟹q=1-a_1^{1-k}$ 代入 $|q|<1$ 得 $-1<1-a_1^{1-k}<1⟹0<a_1^{1-k}<2$。结合不同的 $k$ 值与首项的正负限制，均可化为这类标准的指数/幂型不等式组求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1985-全国文-17 解-等比数列的极限
• 2003-北京文-08 单-分段等比数列极限
• 1990-广东文-28 填-等比数列与数列极限