1982-全国文-09 解-无穷数列的面积和

本题导读

本题考查无穷数列的面积求和。核心在于相似三角形定公比后用无穷等比数列求和公式。

📌【题干】

Question

（1982年全国卷(文)） 如图，已知 $△AOB$ 中，$OA=b$，$OB=a$，$\angle AOB=\theta$（$a\ge b$，$\theta$ 是锐角）.作 $A{B}_1\perp OB$，$B_1{A}_1\parallel BA$；再作 $A_1{B}_2\perp OB$，$B_2{A}_2\parallel BA$；如此无限连续作下去.设 $△AB{B}_1$，$△A_1{B}_1{B}_2$，$\cdots$ 的面积分别为 $S_1$，$S_2$，$\cdots$，求无穷数列 $S_1$，$S_2$，$\cdots$ 的和.

🔍【思路分析】

破题导航

相似比 $k=\frac{O{B}_1}{OB}=\frac{b\cos \theta }{a}$，面积公比 $k^2$，首项 $S_1=\frac{1}{2}(a-b\cos \theta )b\sin \theta$。

✅【答案】

Success

$\frac{a^{2}b\sin \theta }{2(a+b\cos \theta )}$

✍【详细解析】

Abstract

因 $A{B}_1\perp OB$，故 $O{B}_1=b\cos \theta$，$A{B}_1=b\sin \theta$。又 $B_1{A}_1\parallel BA$，故 $△O{A}_1{B}_1\sim △OAB$，相似比 $k=\frac{O{B}_1}{OB}=\frac{b\cos \theta }{a}$。于是各小三角形彼此相似，面积公比 $k^2={\left(\frac{b\cos \theta }{a}\right)}^2$。 首项 $S_1=S_{△AB{B}_1}=\frac{1}{2}\cdot B{B}_1\cdot A{B}_1=\frac{1}{2}(a-b\cos \theta )\cdot b\sin \theta =\frac{1}{2}b\sin \theta (a-b\cos \theta )$。 无穷等比数列求和得 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{S}_n=\frac{S_1}{1-k^2}=\frac{\frac{1}{2}b\sin \theta (a-b\cos \theta )}{1-\frac{b^2{\cos }^2\theta }{a^2}}=\frac{\frac{1}{2}b\sin \theta (a-b\cos \theta )\cdot a^2}{(a-b\cos \theta )(a+b\cos \theta )}=\frac{a^{2}b\sin \theta }{2(a+b\cos \theta )}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：无穷数列的面积和

核心方法：相似比定公比求等比和

避坑指南：相似比 $k=\frac{b\cos \theta }{a}$，面积和 $=\frac{S_1}{1-k^2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：无穷等比数列求和

结论推广：相似三角形的面积成等比数列

方法推广：相似比定公比求和

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 1985-全国文-17 解-等比数列的极限
• 1985-广东文-07 填-等差数列求和与数列极限