1987-全国文-12 填-数列的极限

本题导读

本题考查数列极限的计算，需先求和。

📌【题干】

Question

（1987年全国卷(文)） 求极限：${\lim }_{n\to \infty }\left(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\frac{3}{n^2}+\cdots +\frac{2n}{n^2}\right)$.

🔍【思路分析】

破题导航

分子为等差数列 $1+2+\cdots +2n$ 的和。

✅【答案】

Success

$2$

✍【详细解析】

Abstract

${\lim }_{n\to \infty }\frac{1+2+\cdots +2n}{n^2}={\lim }_{n\to \infty }\frac{n(2n+1)}{n^2}=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列的极限

核心方法：${\lim }_{n\to \infty }\frac{1+2+\cdots +2n}{n^2}={\lim }_{n\to \infty }\frac{n(2n+1)}{n^2}=2$。

避坑指南：分子用等差数列求和公式，勿逐项取极限。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列极限的计算。

结论推广：${\lim }_{n\to \infty }\frac{1+2+\cdots +2n}{n^2}=2$。

方法推广：先求和再取极限。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 1988-全国文-20 填-数列极限
• 1989-全国文-04 单-等比数列与数列极限
• 1990-全国文-18 填-等差数列与数列极限