2000-上海卷理-04 填-数列极限

本题导读

本题考查数列极限的计算。核心在于识别出该极限属于 $1^{\infty }$ 型不定式，通过对底数和指数进行代数恒等变形，利用重要极限 ${\lim }_{x\to \infty }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$ 求解。

📌【题干】

Question

（2000年上海卷(理)） 计算：${\lim }_{n\to \infty }{\left(\frac{n}{n+2}\right)}^n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析极限类型：当 $n\to \infty$ 时，底数 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{n}{n+2}=1$，指数 $n\to \infty$，故该极限为 $1^{\infty }$ 型。
2. 变形底数：将底数进行取倒数或分式拆分变形，化为 $1+\frac{k}{f(n)}$ 的形式。 $\frac{n}{n+2}=\frac{1}{\frac{n+2}{n}}=\frac{1}{1+\frac{2}{n}}$
3. 匹配重要极限形式：利用重要极限公理进行指数凑项，进而求得结果。

✅【答案】

Success

$e^{-2}$

✍【详细解析】

Abstract

将原极限的底数项进行分子分母位置调换（取倒数法）： ${\left(\frac{n}{n+2}\right)}^n={\left[{\left(\frac{n+2}{n}\right)}^{-1}\right]}^n={\left(\frac{n+2}{n}\right)}^{-n}={\left(1+\frac{2}{n}\right)}^{-n}$

为了配凑标准重要极限形式 ${\lim }_{x\to \infty }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$，将指数 $-n$ 进行拆分与配凑： ${\left(1+\frac{2}{n}\right)}^{-n}={\left[{\left(1+\frac{2}{n}\right)}^{\frac{n}{2}}\right]}^{-2}$

当 $n\to \infty$ 时，根据重要极限： ${\lim }_{n\to \infty }{\left(1+\frac{2}{n}\right)}^{\frac{n}{2}}=e$

根据极限的复合运算法则，两边取 $-2$ 次幂： ${\lim }_{n\to \infty }{\left(\frac{n}{n+2}\right)}^n={\lim }_{n\to \infty }{\left[{\left(1+\frac{2}{n}\right)}^{\frac{n}{2}}\right]}^{-2}=e^{-2}=\frac{1}{e^2}$

答案： $e^{-2}$（或 $\frac{1}{e^2}$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两个重要极限之一的第二重要极限在数列形式下的应用。
2. 核心方法：配凑法。使指数项恰好等于底数加号后分式分母的倒数。
3. 避坑指南：

• 极易盲目认为 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{n}{n+2}=1$，从而得出 $1^n=1$ 的错误结论。必须明确 $1^{\infty }$ 是未定式，不能直接代入。
• 在倒数变形时，注意负号的保留，漏掉负号会导致算出错误答案 $e^2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于高等数学微积分中极限部分的经典未定式结构，在2000年前后的上海卷中经常作为高中理科加试或拓宽知识点进行考查。
2. 结论推广：对于任意形如 ${\lim }_{n\to \infty }{\left(\frac{n+a}{n+b}\right)}^n$ 的 $1^{\infty }$ 型极限，其结果存在通用公式： ${\lim }_{n\to \infty }{\left(\frac{n+a}{n+b}\right)}^n=e^{a-b}$ 本题中 $a=0,b=2$，代入公式得 $e^{0-2}=e^{-2}$，可用于快速口算验证。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-12 填-数列的极限
• 1987-广东理-30 填-数列的极限
• 1988-广东文-30 填-数列的极限