1993-新高考理-06 单-分式数列的极限

本题导读

本题考查数列极限的概念，以及分式型数列极限的求法。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(理)） ${\lim }_{n\to \infty }\frac{5n^2-1}{2n^2-n+5}$ 的值为 ()

A. $-\frac{1}{5}$　　　　　　B. $-\frac{5}{2}$　　　　　　C. $\frac{1}{5}$　　　　　　　D. $\frac{5}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步： 观察待求极限的式子，分子和分母都是关于 $n$ 的二次多项式。当 $n\to \infty$ 时，分子与分母均趋于无穷大，属于 $\frac{\infty }{\infty }$ 型未定式。
2. 第二步： 采用常规的“分子分母同除以最高次幂”的方法，将式子转化为含有 $\frac{1}{n}$ 或 $\frac{1}{n^2}$ 的形式。利用当 $n\to \infty$ 时 $\frac{1}{n^2}\to 0$ 且 $\frac{1}{n}\to 0$ 的极限运算法则，直接计算出结果。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：将分子、分母同时除以 $n$ 的最高次幂 $n^2$，原式可变形为： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{5n^2-1}{2n^2-n+5}={\lim }_{n\to \infty }\frac{\frac{5n^2}{n^2}-\frac{1}{n^2}}{\frac{2n^2}{n^2}-\frac{n}{n^2}+\frac{5}{n^2}}={\lim }_{n\to \infty }\frac{5-\frac{1}{n^2}}{2-\frac{1}{n}+\frac{5}{n^2}}$ 根据极限的四则运算法则，当 $n\to \infty$ 时，${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}=0$，${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n^2}=0$。 代入上式得： $\frac{5-0}{2-0+0}=\frac{5}{2}$ 故正确答案为：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 无穷大无穷小量关系，特别是极限基本结论 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n^k}=0(k>0)$ 的应用。
2. 核心方法： 抓大头法。对分式型多项式求无穷大极限时，非最高次的项在 $n\to \infty$ 的过程中对结果不产生决定性影响。直接提取分子和分母的最高次项 $\frac{5n^2}{2n^2}$ 进行约分，系数之比即为最限值。
3. 避坑指南： - 避免被常数项和一次项（如 $-1$, $-n+5$）干扰导致运算混乱。
   • 注意正负号，部分同学可能盲目将常数项进行对比，误选 A 或 C。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是解析几何、微积分初步进入高中数学后的基础考查题，属于微积分中求极限最基础的一类有理分式模型。
2. 结论推广（有理分式极限通用公式）： 设 $P(n)=a_m{n}^m+a_{m-1}{n}^{m-1}+\cdots +a_0$，$Q(n)=b_k{n}^k+b_{k-1}{n}^{k-1}+\cdots +b_0$ 均为关于 $n$ 的多项式（其中 $a_m\ne 0,b_k\ne 0$），则有： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{P(n)}{Q(n)}=\{\begin{array}{ll}0,& m<k\\ \frac{a_m}{b_k},& m=k\\ \infty ,& m>k\end{array}$ 本题中 $m=k=2$，故直接取最高次项系数比 $\frac{a_2}{b_2}=\frac{5}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-12 填-数列的极限
• 1987-广东理-30 填-数列的极限
• 1988-广东文-30 填-数列的极限