2000-广东卷理-15 填-数列递推关系

本题导读

本题考查非线性递推数列通项公式的求解。解题核心在于识别出递推关系式关于 $a_{n+1}$ 和 $a_n$ 的齐次二次结构，通过十字相乘法将其因式分解，转化为比例关系，进而利用累乘法求出通项公式。

📌【题干】

Question

（2000年广东卷） 设 $\{a_n\}$ 是首项为 1 的正项数列，且 $(n+1)a_{n+1}^2-n{a}_n^2+a_{n+1}{a}_n=0(n=1,2,3,\cdots )$，则它的通项公式是 $a_n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 因式分解递推式：将原式整理为关于 $a_{n+1}$ 的一元二次方程形式：$(n+1)a_{n+1}^2+a_n{a}_{n+1}-n{a}_n^2=0$。利用十字相乘法将其分解为两个一次因式的乘积。
2. 确定项的比例关系：根据 $\{a_n\}$ 是“正项数列”这一条件，排斥掉不合题意的负根因式，从而得到 $a_{n+1}$ 与 $a_n$ 的代数比值。
3. 累乘求通项：将比例式写成 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)$ 的标准结构，利用累乘法 $\frac{a_n}{a_1}=\frac{a_n}{a_{n-1}}\cdot \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdots \frac{a_2}{a_1}$ 抵消中间项，代入 $a_1=1$ 即可求得 $a_n$。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{n}$

✍【详细解析】

Abstract

将已知递推关系式调整各项顺序，视作关于 $a_{n+1}$ 的二次方程： $(n+1)a_{n+1}^2+a_n{a}_{n+1}-n{a}_n^2=0$

使用十字相乘法对左端进行因式分解：

• 将第一项系数 $(n+1)$ 拆为 $(n+1)\times 1$；
• 将常数项系数 $-n$ 拆为 $n\times (-1)$，使得交叉相乘之和为 $(n+1)\times (-1)+1\times n=-1$?
• 重新调整：将常数项系数 $-n$ 拆为 $(-n)\times 1$。 交叉相乘之和：$(n+1)\times 1+1\times (-n)=n+1-n=1$，恰好等于中间项 $a_{n+1}{a}_n$ 的系数 $1$。

因此，原式可化为： $[(n+1)a_{n+1}-n{a}_n](a_{n+1}+a_n)=0$

由此可得两个可能的关系式：

1. $(n+1)a_{n+1}-n{a}_n=0⟹a_{n+1}=\frac{n}{n+1}{a}_n$
2. $a_{n+1}+a_n=0⟹a_{n+1}=-a_n$

由于 $\{a_n\}$ 是正项数列，对任意 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 恒有 $a_n>0$。 若 $a_{n+1}=-a_n$，则两项必一正一负，与正项数列矛盾，故舍去。 因此，确定的递推关系为： $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n}{n+1}$

当 $n\ge 2$ 时，利用累乘法： $a_n=a_1\cdot \frac{a_2}{a_1}\cdot \frac{a_3}{a_2}\cdots \frac{a_n}{a_{n-1}}$ 代入比例关系式： $a_n=1\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\cdot \left(\frac{2}{3}\right)\cdot \left(\frac{3}{4}\right)\cdots \left(\frac{n-1}{n}\right)$ 观察链式乘积，分子与前一项的分母依次交叉约分： $a_n=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{3}{4}\times \cdots \times \frac{n-1}{n}=\frac{1}{n}$

当 $n=1$ 时，$a_1=\frac{1}{1}=1$，与已知首项吻合。 故通项公式为 $a_n=\frac{1}{n}$。

答案： $\frac{1}{n}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：含参数（含有 $n$）的二次齐次式的因式分解；正项数列的符号限制判定；累乘法的消项运算。
2. 核心方法：因式分解降次法。处理非线性递推式时，若能通过配方或分解将其化为多个一次式乘积为 0 的形式，即可将问题转化为传统的等差、等比或变比数列。
3. 避坑指南：

• 十字相乘时，务必分清参数 $n$ 与 $(n+1)$ 的分配，确保中间项系数符号正确。
• 累乘法写到最后一项时，注意自变量的对应，倒数第二项是 $\frac{n-2}{n-1}$，最后一项是 $\frac{n-1}{n}$，不要多写或少写项导致约分出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题利用代数方程的结构隐藏了简单的变比递推数列，属于典型的“外表复杂、核心基础”的递推数列经典题。
2. 结论推广：一般地，若正项数列满足 $(n+k)a_{n+1}^2+c{a}_{n+1}{a}_n-n{a}_n^2=0$，只要满足系数能够分解，均可转化为 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n}{n+k}$ 形式。其累乘结果表现为多项连续消去后的阶乘比或分式积。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 1984-全国卷理-19 解-数列递推与不等式放缩
• 1986-广东理-38 解-数列与数学归纳法
• 1987-全国文-12 填-数列的极限