1983-全国文-12 解-等差等比数列的相互转化

本题导读

本题考查等差与等比数列的相互转化。核心在于设出等比数列三项后由条件列方程。

📌【题干】

Question

（1983年全国卷(文)） 一个等比数列有三项，如果把第二项加上 4，那么所得的三项就成为等差数列；如果再把这等差数列的第三项加上 32，那么所得的三项又成等比数列，求原来的等比数列.

🔍【思路分析】

破题导航

设三项为 $a,ar,a{r}^2$，由等差得 $a(r-1{)}^2=8$，由等比得 $a(4-r)=2$，联立解 $r$。

✅【答案】

Success

$2,6,18$ 或 $\frac{2}{9},-\frac{10}{9},\frac{50}{9}$

✍【详细解析】

Abstract

设等比数列为 $a,ar,a{r}^2$。 (1) 第二项加 4 后 $a,ar+4,a{r}^2$ 成等差数列，故 $2(ar+4)=a+a{r}^2$，即 $a(r^2-2r+1)=8$，$a(r-1{)}^2=8$。

(2) 再把第三项加 32 后 $a,ar+4,a{r}^2+32$ 成等比数列，故 $(ar+4{)}^2=a(a{r}^2+32)$，展开化简得 $8ar+16=32a$，即 $a(4-r)=2$。 由 $a(4-r)=2$ 得 $a=\frac{2}{4-r}$，代入 $a(r-1{)}^2=8$：$\frac{2(r-1{)}^2}{4-r}=8$，即 $(r-1{)}^2=4(4-r)$，$r^2-2r+1=16-4r$，$r^2+2r-15=0$，解得 $r=3$ 或 $r=-5$。 当 $r=3$ 时，$a=2$，原数列为 $2,6,18$；当 $r=-5$ 时，$a=\frac{2}{9}$，原数列为 $\frac{2}{9},-\frac{10}{9},\frac{50}{9}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差等比数列的相互转化

核心方法：等差等比联立方程

避坑指南：设三项 $a,ar,a{r}^2$，由等差、等比条件列方程解 $a,r$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差等比数列综合

结论推广：三项成等差、等比的条件互化

方法推广：设首项公比列方程

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 1989-广东文-31 解-等差数列与等比数列
• 1990-全国文-21 解-等差数列与等比数列综合