1999-全国卷理-23 解-折线函数与数列

本题导读

本题考查等比数列的通项与前 $n$ 项和。核心在于累加法与分类讨论法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1999年全国卷(理)） （题干缺失）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由递推关系求通项：抓住 $x_{n+1}=1+b{x}_n$ 的结构，用待定系数法化为等比数列 $x_{n+1}-\frac{1}{1-b}=b\left(x_n-\frac{1}{1-b}\right)$，结合 $x_1=1$ 写出 $x_n$。

2. 分段构造解析式：由 $f(x_n)=x_{n+1}$ 及 $f$ 在 $[x_n,x_{n+1}]$ 上为一次函数，用两点式写出各段表达式，再讨论 $b>1$ 与 $0<b<1$ 时 $x_n$ 的极限确定定义域。

3. 归纳法证不等式：对 $b>1$、$0<b<1$ 分类，用数学归纳法证明 $f(x)$ 与 $x$ 的大小关系，注意利用各段斜率 $b^n$ 与端点值的比较。

✅【答案】

Success

(1) $x_1=1,x_2=1+\frac{1}{b},x_n=\frac{1-b^{-n}}{1-b}(n=1,2,\cdots )$

(2) $f(x)=\{\begin{array}{ll}x,& 0\le x\le 1\\ n+b^n(x-x_n),& x_n\le x\le x_{n+1}\end{array}$；当 $b>1$ 时定义域 $\left[0,\frac{b}{b-1}\right)$，当 $0<b<1$ 时定义域 $[0,+\infty )$

(3) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（解析缺失）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：数列递推与通项（$x_{n+1}=1+b{x}_n$ 型构造等比）、分段函数解析式与定义域、数列极限与分类讨论（$b>1$ 与 $0<b<1$）。
• 核心方法：由 $x_{n+1}-x_n=b^n$ 累加求通项；利用 $f(x_n)=x_n$、$f(x_{n+1})=x_{n+1}$ 待定分段线性函数；由 $x_n\to \frac{1}{1-b}$ 确定定义域端点。
• 避坑指南：求通项时勿漏 $n=1$ 的验证；写分段函数须注明各段区间端点归属，避免重复或遗漏。
• 避坑指南：定义域要按 $b$ 的范围分类讨论，$b>1$ 时取开区间 $\left[0,\frac{b}{b-1}\right)$，勿误写为闭区间。
• 避坑指南：第(3)问证明须紧扣 $f(x)$ 的单调性与 $x_n$ 的单调性，注意 $b$ 的取值对极限存在性的影响。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题源于函数迭代与分形构造背景，以递推数列 $x_{n+1}=1+b{x}_n$ 为载体，考查分段线性函数的解析式、定义域及性质，体现”数列—函数—迭代”的综合，是研究自相似结构的经典模型。

结论推广：由 $x_n=\frac{1-b^{-n}}{1-b}$ 可得迭代通项 $x_n=\frac{1-b^n}{1-b}$（$b\ne 1$）；当 $b>1$ 时 $x_n\to \frac{b}{b-1}$，定义域右端点为该极限值，可推广为一般迭代 $x_{n+1}=a+b{x}_n$ 的收敛性讨论。

方法推广：分段函数解析式构造法可推广至任意递推 $x_{n+1}=f(x_n)$ 的图象”拼接”；由 $f(x_n)=x_{n+1}$、$f(x_{n+1})=x_{n+2}$ 联立求斜率 $b^n$ 的方法，是解决迭代函数解析式的通法，可迁移至压缩映射与不动点问题。

考查背景：本题以迭代数列与分段函数为载体，考查归纳猜想、递推求解与分类讨论思想，背景涉及分形几何中的自相似曲线，体现高考对函数与数列综合能力的选拔要求。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1983-全国文-12 解-等差等比数列的相互转化
• 2003-大纲文-19 解-数列递推求通项