2006-陕西文-05 单-直线与圆相切

本题导读

本题考查直线，以及圆。

📌【题干】

Question

（2006年陕西卷(文)） 设直线过点 $(0,a)$，其斜率为 $1$，且与圆 $x^2+y^2=2$ 相切，则 $a$ 的值为()

A. $\pm \sqrt{2}$　　　　　　　B. $\pm 2$　　　　　　　C. $\pm 2\sqrt{2}$　　　　　　　D. $\pm 4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 直线斜率为 $1$ 且过 $(0,a)$，方程为 $y=x+a$，即 $x-y+a=0$。
2. 圆 $x^2+y^2=2$ 圆心 $(0,0)$、半径 $\sqrt{2}$。
3. 相切 ⟺ 圆心到直线距离等于半径：$\frac{|a|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{|a|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。
4. 得 $|a|=2$，$a=\pm 2$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

直线的方程为 $y=x+a$，即 $x-y+a=0$． 圆心为原点，半径为 $\sqrt{2}$，所以原点到切线的距离满足 $\frac{|a|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.$ 因此 $|a|=2$，即 $a=\pm 2$，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与圆相切

核心方法：直线 $y=x+a$ 即 $x-y+a=0$，圆心到直线距离 $\frac{|a|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，得 $a=\pm 2$

避坑指南：相切条件为圆心到直线距离等于半径，注意 $a$ 有正负两解

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 直线与圆相切的条件

结论推广: 圆心到直线距离等于半径

方法推广: 点到直线距离公式，注意 $a$ 的正负

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2008-山东文-11 单-圆与两线相切定方程
• 2008-湖南文-14 填-圆平移与切线斜率
• 2010-天津文-14 填-圆的方程相切
• 2010-北京文-19 解-椭圆与圆相切