2004-全国卷IV文-08 单-圆的方程

本题导读

本题考查圆的方程，以及直线与圆相切的条件。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷IV(文)） 已知圆 $C$ 的半径为 $2$，圆心在 $x$ 轴的正半轴上，直线 $3x+4y+4=0$ 与圆 $C$ 相切，则圆 $C$ 的方程为()

A. $x^2+y^2-2x-3=0$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $x^2+y^2+4x=0$

C. $x^2+y^2+2x-3=0$　　　　　　　　　　　　　　　　D. $x^2+y^2-4x=0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设圆心 $(t,0)$（$t>0$）。
2. 相切：圆心到直线距离 $=\frac{|3t+4|}{5}=2$。
3. 得 $t=2$，写方程。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设圆心为 $(t,0)$（$t>0$）．直线与圆相切，圆心到直线距离等于半径，即 $\frac{|3t+4|}{5}=2$，得 $3t+4=10$，$t=2$.故圆方程为 $(x-2{)}^2+y^2=4$，即 $x^2+y^2-4x=0$，选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的方程
2. 核心方法：设圆心 $(t,0)$（$t>0$），相切 $\frac{|3t+4|}{5}=2$，$3t+4=10$，$t=2$；圆 $(x-2{)}^2+y^2=4$，即 $x^2+y^2-4x=0$
3. 避坑指南：圆心到直线距离等于半径 $2$；$t>0$ 故 $3t+4=10$（不取 $-10$），得 $t=2$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于圆的方程，教材”直线与圆”
2. 结论推广: 一般化：圆心在坐标轴上且相切，用距离=半径定圆心；设圆心 $(t,0)$，距离公式列方程，注意 $t$ 的符号取舍

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2010-天津文-14 填-圆的方程相切
• 2006-重庆文-03 单-圆与直线相切
• 2006-陕西文-05 单-直线与圆相切