2001-豫粤卷-21 解-椭圆的几何性质

本题导读

本题考查椭圆的几何性质。核心在于设而不求法、坐标解析证明法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2001年豫粤卷） 已知椭圆 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 的右准线 $l$ 与 $x$ 轴相交于点 $E$，过椭圆右焦点 $F$ 的直线与椭圆相交于 $A,B$ 两点，点 $C$ 在右准线 $l$ 上，且 $BC\parallel x$ 轴，求证：直线 $AC$ 经过线段 $EF$ 的中点.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 提取椭圆基本几何参数：从标准方程读出 $a^2=2,b^2=1$，利用 $c^2=a^2-b^2$ 算出焦距 $c$。由此精确写出右焦点 $F$、右准线 $l$ 的方程以及交点 $E$ 的坐标，进而直接锁定线段 $EF$ 的中点 $M$ 的坐标。
2. 构建直线与椭圆的联立模型：

• 设过右焦点 $F$ 的斜式动直线方程。为了规避斜率不存在的边界讨论，优先将其设为 $x=my+c$ 构型。
• 设交点坐标为 $A(x_1,y_1)$， $B(x_2,y_2)$。将直线方程与椭圆方程联立，化为关于 $y$ 的一元二次方程，写出韦达定理基础对称项。

3. 推导动点 $C$ 的空间坐标：根据 $BC\parallel x$ 轴且点 $C$ 在准线 $l$ 上的几何特征，点 $C$ 的纵坐标必然与 $B$ 相同，横坐标则由准线固定，从而直接将其写为关于 $y_2$ 的单变量代数式。
4. 论证三点共线（定点不变量）：设线段 $EF$ 的中点为 $M$。要证明直线 $AC$ 过点 $M$，只需验证 $A,M,C$ 三点共线。可以通过计算斜率满足 $k_{AM}=k_{MC}$ 或者是证明向量共线，将交点坐标通过韦达定理关系代入消元，若最终化简结果为恒等式，即完成论证。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算椭圆的基础特征量与特殊定点

由已知椭圆标准方程 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 可得： $a^2=2,b^2=1$ 根据平方差不变量关系 $c^2=a^2-b^2=2-1=1$，求得半焦距： $c=1$ 由此确定各几何要素的代数坐标：

• 椭圆右焦点： $F(1,0)$
• 右准线 $l$ 的方程为： $x=\frac{a^2}{c}=\frac{2}{1}=2$
• 准线与 $x$ 轴的交点： $E(2,0)$

因为点 $M$ 是线段 $EF$ 的中点，根据中点坐标公式： $M=\left(\frac{x_E+x_F}{2},\frac{y_E+y_F}{2}\right)=\left(\frac{2+1}{2},\frac{0+0}{2}\right)=\left(\frac{3}{2},0\right)$ 本题的最终核心目标即转化为：求证直线 $AC$ 恒过定点 $M\left(\frac{3}{2},0\right)$。

第二步：引入直线方程并实施代数消元联立

当过焦点 $F(1,0)$ 的直线垂直于 $x$ 轴时， $A,B$ 关于 $x$ 轴对称。此时不难验证直线 $AC$ 的对称轴恰好通过 $M$ 点。以下对更一般的情况进行严密代数推导： 设过右焦点 $F(1,0)$ 的动直线方程为： $x=my+1$ 设直线与椭圆相交的两个交点坐标分别为 $A(x_1,y_1)$， $B(x_2,y_2)$。

将直线方程 $x=my+1$ 代入椭圆方程 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 中： $\frac{(my+1{)}^2}{2}+y^2=1$ 两边同时乘以 2 以消除分母： $(m^2{y}^2+2my+1)+2y^2=2$ 将同类项合并，整理成关于 $y$ 的标准一元二次方程： $(m^2+2)y^2+2my-1=0\text{(1)}$

根据一元二次方程的韦达定理（根与系数的关系），两交点纵坐标的对称组合项为： $y_1+y_2=-\frac{2m}{m^2+2}\text{(2)}$ $y_1{y}_2=-\frac{1}{m^2+2}\text{(3)}$ 由 ②、③ 两式两边相除，可得到一个用于后续消元的关键比例不变量： $\frac{y_1+y_2}{y_1{y}_2}=\frac{-\frac{2m}{m^2+2}}{-\frac{1}{m^2+2}}=2m⟹y_1+y_2=2m{y}_1{y}_2\text{(4)}$

第三步：确定动点 $C$ 的坐标并构建三点共线方程

因为点 $C$ 在右准线 $l:x=2$ 上，故其横坐标恒为 $x_C=2$． 又因为已知几何条件 $BC\parallel x$ 轴，所以点 $C$ 的纵坐标与点 $B$ 严格相等： $y_C=y_2$ 由此得到点 $C$ 的明确坐标为： $C(2,y_2)$

要证明直线 $AC$ 经过定点 $M\left(\frac{3}{2},0\right)$，等价于证明 $A(x_1,y_1)$， $M\left(\frac{3}{2},0\right)$， $C(2,y_2)$ 三点共线。 利用平面解析几何中三点共线的斜率相等判据（ $k_{AM}=k_{MC}$），建立待证等式： $\frac{y_1-0}{x_1-\frac{3}{2}}=\frac{y_2-0}{2-\frac{3}{2}}$ 将分母化简： $\frac{y_1}{x_1-\frac{3}{2}}=\frac{y_2}{\frac{1}{2}}⟹\frac{2y_1}{2x_1-3}=2y_2⟹y_1=y_2(2x_1-3)$ 将直线方程 $x_1=m{y}_1+1$ 代入上式的右侧中： $y_1=y_2[2(m{y}_1+1)-3]⟹y_1=y_2(2m{y}_1-1)$ 将右端项展开移项，转化为最终需要化简的核心代数式： $y_1=2m{y}_1{y}_2-y_2⟹y_1+y_2=2m{y}_1{y}_2$

第四步：结合韦达定理完成严格证明

审视第三步推导出的待证结构 $y_1+y_2=2m{y}_1{y}_2$。 由第二步中利用韦达定理直接导出的等式 ④ 可知： $y_1+y_2\equiv 2m{y}_1{y}_2$ 此代数恒等关系对于方程 ① 的全体实根必然恒成立。 因此，逆推可知斜率相等判据 $k_{AM}=k_{MC}$ 恒成立，即 $A,M,C$ 三点在欧几里得几何平面上严格共线。 这就证明了直线 $AC$ 必然经过线段 $EF$ 的中点 $M$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：过焦点的“设 $x$ 型”直线与标准椭圆的代数级联联立；韦达定理非对称项的高阶消元配凑；解析几何中定点不变量的代数化证明。
2. 核心方法：设而不求法、结构消元法（三点共线法）。
3. 避坑指南：

• 直线的习惯性设法陷阱：若本题盲目习惯性地设直线为 $y=k(x-1)$，当直线垂直于 $x$ 轴（即斜率不存在）时，将无法代入计算，大题中如果漏掉对“斜率不存在”这一边界情况的单独分类讨论，会导致步骤不完备被扣分。采用 $x=my+1$ 设法，可以完成对全空间位置直线的无死角统一覆盖书写。
• 双变量交叉消元混乱陷阱：在第三步构建共线等式后，式中同时参杂了 $x_1,y_1,y_2$ 三个相互交织的变量。核心消元秘诀是：优先利用直线方程将横坐标 $x_1$ 彻底替换为纵坐标 $y_1$，将方程统一降维到纯 $y$ 的对称世界中，即可轻松套用韦达定理破题。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于解析几何板块非常经典的压轴大题，取材于射影几何中关于**“极点与极线（Poles and Polars）以及调和共轭（Harmonic Conjugate）”**这一高等几何理论的初等代数化映射。
2. 结论推广： 本题所论证的经过中点这一几何现象，在高等射影几何中属于通用的**“圆锥曲线焦点准线调和割线不变量定理”**。 对于任意标准椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，设其右焦点为 $F$，右准线为 $l$。过焦点 $F$ 的任意割线交椭圆于 $A,B$ 两点。若过点 $B$ 作准线的垂线交准线于点 $C$，则直线 $AC$ 恒射影经过一个与曲线参数完全解耦的绝对定点 $M$。且该定点的坐标恒满足闭式解析解： $M\equiv \left(\frac{a^2+c^2}{2c},0\right)$ 代入本题特定参数 $a^2=2,c=1⟹c^2=1$： $M=\left(\frac{2+1}{2\times 1},0\right)=\left(\frac{3}{2},0\right)$ 此结论与准线交点 $E\left(\frac{a^2}{c},0\right)=(2,0)$ 和焦点 $F(1,0)$ 的中点公式计算结果 $\left(\frac{2+1}{2},0\right)=\left(\frac{3}{2},0\right)$ 严格重合，从而完成了对这一调和不变量完备性的论证。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切
• 1977-山西-08 解-直线与圆相切
• 2006-陕西文-05 单-直线与圆相切