2003-全国卷理-05 单-圆的标准方程与几何性质

本题导读

本题主要考查直线与圆相交时弦长的计算问题。利用解析几何中处理弦长最核心的几何方法，即结合垂径定理构造出由圆的半径、弦心距及半弦长组成的直角三角形，列出代数方程从而求出参数的值。

📌【题干】

Question

（2003年全国卷(理)） 已知圆 $C:(x-a{)}^2+(y-2{)}^2=4$ ($a>0$) 及直线 $l:x-y+3=0$，当直线 $l$ 被 $C$ 截得的弦长为 $2\sqrt{3}$ 时，$a$ 的值等于()

A. $\sqrt{2}$　　　　　B. $2-\sqrt{2}$　　　　　C. $\sqrt{2}-1$　　　　　D. $\sqrt{2}+1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 提取圆的核心基本量：从圆的标准方程中直接读出圆心坐标 $C(a,2)$ 和半径 $R=2$。

2. 利用垂径定理转化弦长：已知直线被圆截得的弦长为 $L=2\sqrt{3}$，则半弦长为 $\frac{L}{2}=\sqrt{3}$。

3. 构造直角三角形求弦心距：圆的半径 $R$、圆心到直线的距离（弦心距）$d$、半弦长满足勾股定理：$R^2=d^2+{\left(\frac{L}{2}\right)}^2$，由此求出 $d$ 的具体数值。

4. 利用点到直线距离公式求参数：用点到直线的距离公式表示出 $C(a,2)$ 到直线 $x-y+3=0$ 的距离，使其等于已求出的 $d$，结合 $a>0$ 的限制条件解出 $a$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由圆的方程 $(x-a{)}^2+(y-2{)}^2=4$，可知： 圆心坐标为 $C(a,2)$，半径 $R=2$。

设圆心 $C$ 到直线 $l:x-y+3=0$ 的距离为 $d$。 直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长为 $2\sqrt{3}$，根据垂径定理，圆心、垂足、弦端点构成直角三角形。 由勾股定理可得： $d^2+{\left(\frac{2\sqrt{3}}{2}\right)}^2=R^2$ $d^2+(\sqrt{3}{)}^2=2^2$ $d^2+3=4⟹d^2=1$ 因为距离 $d>0$，所以弦心距 $d=1$。

根据点到直线的距离公式，圆心 $C(a,2)$ 到直线 $x-y+3=0$ 的距离为： $d=\frac{|a-2+3|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{|a+1|}{\sqrt{2}}$

令其等于 1，得： $\frac{|a+1|}{\sqrt{2}}=1⟹|a+1|=\sqrt{2}$

去掉绝对值符号： $a+1=\sqrt{2}\text{或}a+1=-\sqrt{2}$ $a=\sqrt{2}-1\text{或}a=-\sqrt{2}-1$

因为题目中限定条件为 $a>0$， 而 $-\sqrt{2}-1<0$（不合题意，舍去），$\sqrt{2}-1>0$（符合题意）。 所以 $a=\sqrt{2}-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆心到直线的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，垂径定理下的“弦心距-半径-半弦长”直角三角形模型。
2. 核心方法：几何法（几何特征化归）。处理直线与圆的弦长问题时，一律优先采用几何勾股定理求弦心距，避免使用联立方程再用弦长公式的繁琐代数法。
3. 避坑指南：

   • 容易忘记去掉绝对值时的正负两种情况。

   • 容易忽略条件 $a>0$，从而误认为方程有两个有效解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于典型的直线与圆位置关系的标准考题，直接由教材中圆的几何性质与距离公式应用一节的课后习题演变而来。
2. 结论推广: 对于任意直线 $Ax+By+C=0$ 与圆 $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=R^2$ 相交所得弦长为 $L$，其几何满足的恒等关系通式为：$\frac{(A{x}_0+B{y}_0+C{)}^2}{A^2+B^2}+{\left(\frac{L}{2}\right)}^2=R^2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切
• 1977-山西-08 解-直线与圆相切
• 2006-陕西文-05 单-直线与圆相切