2004-江苏卷-14 填-圆

本题导读

本题考查圆的标准方程，以及点到直线的距离公式。

📌【题干】

Question

（2004年江苏卷） 以点 $(1,2)$ 为圆心，与直线 $4x+3y-35=0$ 相切的圆的方程是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（明确圆的几何要素）：确定一个圆的方程需要两个核心要素——圆心坐标 $(a,b)$ 和半径 $R$。题目已直接给出圆心坐标为 $(1,2)$，因此只需利用切线条件求解半径 $R$。
2. 第二步逻辑（化归半径为点线距离）：根据平面几何定理，当圆与直线相切时，圆心到该切线的垂直距离 $d$ 严格等于圆的半径 $R$。由此将半径求解问题等价转化为求解点 $(1,2)$ 到直线 $4x+3y-35=0$ 的物理距离。
3. 第三步逻辑（套用点线距离公式求值）：应用解析几何标准公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，代入直线系数与点坐标，计算出 $R$。最后直接写出标准的圆方程形式 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$。

✅【答案】

Success

$(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=25$

✍【详细解析】

Abstract

• 运用相切恒等性质原理求解圆的半径 $R$： 已知圆心坐标为： $C(1,2)\text{（式1）}$ 已知切线直线方程为： $4x+3y-35=0\text{（式2）}$

  根据平面几何基本性质，圆与直线相切的充要条件是圆心 $C$ 到直线的距离 $d$ 严格等于该圆的半径 $R$。 根据点到直线的距离公式： $R=d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\text{（式3）}$ 将直线系数 $A=4,B=3,C=-35$ 及圆心坐标 $x_0=1,y_0=2$（式1）代入公式（式3）中计算： $R=\frac{|4\times 1+3\times 2-35|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{|4+6-35|}{\sqrt{16+9}}$ 对分子、分母分别化简： $R=\frac{|-25|}{\sqrt{25}}=\frac{25}{5}=5\text{（式4）}$

• 写出圆的标准方程： 圆的标准方程通用结构为： $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2\text{（式5）}$ 将已知的圆心（式1） $a=1,b=2$ 以及求得的半径（式4） $R=5⟹R^2=25$ 代入标准结构式（式5）中： $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=25$

填空题最终答案为： $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=25$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：点到直线距离公式的准确代数求解；勾股数 $(3,4,5)$ 的模长换算；圆的标准方程结构。
2. 核心方法：点线距离公式法。
3. 避坑指南：
   • 极其容易在写出最终方程时忘记将半径 5 平方变为 25：这是解析几何填空题最普遍的笔误扣分点。很多学生算出来 $R=5$，顺手在等号右侧写上 $=5$，写成了 $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=5$。请牢记圆的方程铁律：标准方程的右侧常数项是 $R^2$ 而不是 $R$。在填写答案前，必须无条件对右侧数值进行平方核验。
   • 计算分子时注意绝对值符号。 $|4+6-35|=|-25|=25$，距离度量恒为正实数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出自高中数学教材解析几何中“圆的方程与位置关系”章节的课后标准练习题，是高考考查坐标法基本功的最经典填空题。
2. 结论推广: 已知圆心 $C(x_0,y_0)$ 和一条切线 $Ax+By+C=0$，则半径 $R=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，圆的标准方程为 $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=\frac{(A{x}_0+B{y}_0+C{)}^2}{A^2+B^2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切
• 1977-山西-08 解-直线与圆相切
• 2006-陕西文-05 单-直线与圆相切