2004-江苏卷-21 解-椭圆

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质。核心在于向量定比分点坐标化法、联立方程消元法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年江苏卷） 已知椭圆的中心在原点，离心率为 $\frac{1}{2}$，一个焦点是 $F(-m,0)$（$m$ 是大于 0 的常数）.

(1) 求椭圆的方程；

(2) 设 $Q$ 是椭圆上的一点，且过点 $F、Q$ 的直线 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $M$.若 $|\overrightarrow{MQ}|=2|\overrightarrow{QF}|$，求直线 $l$ 的斜率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问逻辑：已知一个焦点为 $F(-m,0)$，说明焦点在 $x$ 轴上，且半焦距 $c=m$。由离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，可求得长半轴 $a=2c=2m$。再利用关系式 $b^2=a^2-c^2$ 求出短半轴平方 $b^2=4m^2-m^2=3m^2$。直接写出椭圆标准方程。
2. 第(2)问逻辑：直线 $l$ 过焦点 $F(-m,0)$，且与 $y$ 轴相交，说明其斜率存在且不为 0（若斜率为 0 则与 $y$ 轴平行无交点）。
   • 设直线 $l$ 的方程为 $y=k(x+m)$（或设点斜式、截距式）。从而求出与 $y$ 轴的交点 $M(0,km)$。
   • 已知限制条件为长度比例 $|\overrightarrow{MQ}|=2|\overrightarrow{QF}|$。由于点 $M,Q,F$ 在同一条直线 $l$ 上，根据几何排布，点 $Q$ 可以位于线段 $MF$ 的内部（内分点），也可以位于外部（外分点），需转换为向量共线形式 $\overrightarrow{MQ}=\lambda \overrightarrow{QF}$，其中 $\lambda =\pm 2$。
   • 利用向量共线分点公式，将点 $Q$ 的坐标用含 $k,m$ 的代数式显式表示出来。
   • 因为点 $Q$ 严格属于椭圆图形，将其坐标代入第 (1) 问求得的椭圆方程中，消去常数 $m^2$，解出斜率 $k$。

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✅【答案】

Success

(1) $\frac{x^2}{4m^2}+\frac{y^2}{3m^2}=1$

(2) $k=\pm 2\sqrt{6}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求椭圆的方程 已知椭圆中心在原点，且一个焦点为 $F(-m,0)(m>0)$， 可知椭圆的焦点位于 $x$ 轴上，其半焦距为： $c=m\text{（式1）}$ 已知椭圆的离心率 $e=\frac{1}{2}$，根据离心率代数定义式 $e=\frac{c}{a}$： $\frac{m}{a}=\frac{1}{2}⟹a=2m⟹a^2=4m^2\text{（式2）}$ 根据椭圆基本几何性质，短半轴平方 $b^2$ 满足恒等性质方程： $b^2=a^2-c^2=4m^2-m^2=3m^2\text{（式3）}$

将（式2）与（式3）代入焦点在 $x$ 轴上的椭圆标准方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 中： $\frac{x^2}{4m^2}+\frac{y^2}{3m^2}=1$

(2) 设 $Q$ 是椭圆上的一点，且过点 $F、Q$ 的直线 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $M$．若 $|\overrightarrow{MQ}|=2|\overrightarrow{QF}|$，求直线 $l$ 的斜率 由题意，直线 $l$ 过焦点 $F(-m,0)$。若直线 $l$ 的斜率 $k=0$，则直线方程为 $y=0$（即 $x$ 轴），此时直线与 $y$ 轴的交点 $M$ 为原点 $(0,0)$。若 $Q$ 为椭圆与 $x$ 轴的交点，则 $|\overrightarrow{MQ}|=a=2m$ 或 $2m$，而 $|\overrightarrow{QF}|=a\pm c$，经核验均不满足 $|\overrightarrow{MQ}|=2|\overrightarrow{QF}|$。故直线 $l$ 的斜率存在且 $k\ne 0$。

设直线 $l$ 的点斜式方程为： $y=k(x+m)\text{（式4）}$ 令（式4）中的 $x=0$，求得直线与 $y$ 轴的交点 $M$ 的坐标为： $M(0,km)\text{（式5）}$

已知点 $Q(x_Q,y_Q)$、点 $F(-m,0)$ 和点 $M(0,km)$ 三点共线，且线段长度满足 $|\overrightarrow{MQ}|=2|\overrightarrow{QF}|$。 根据向量共线定理，两向量的方向可能相同或相反，故存在两种独立的几何分域拓扑结构：

• 情形一：当 $\overrightarrow{MQ}=2\overrightarrow{QF}$ 时（点 $Q$ 在内侧）： 展开为坐标分量式： $(x_Q-0,y_Q-km)=2(-m-x_Q,0-y_Q)$ 分别对横、纵坐标拆解方程组： $\{\begin{array}{l}{x}_Q=-2m-2x_Q⟹3x_Q=-2m⟹x_Q=-\frac{2}{3}m\\ y_Q-km=-2y_Q⟹3y_Q=km⟹y_Q=\frac{1}{3}km\end{array}\text{（式6）}$ 得到点 $Q$ 的坐标为 $\left(-\frac{2}{3}m,\frac{1}{3}km\right)$。 因为点 $Q$ 在椭圆 $\frac{x^2}{4m^2}+\frac{y^2}{3m^2}=1$ 上，将（式6）代入椭圆方程中： $\frac{{\left(-\frac{2}{3}m\right)}^2}{4m^2}+\frac{{\left(\frac{1}{3}km\right)}^2}{3m^2}=1⟹\frac{\frac{4}{9}{m}^2}{4m^2}+\frac{\frac{1}{9}{k}^2{m}^2}{3m^2}=1$ 两边同时消去非零常数项 $m^2$： $\frac{1}{9}+\frac{k^2}{27}=1$ 两边同乘以 27： $3+k^2=27⟹k^2=24⟹k=\pm 2\sqrt{6}\text{（式7）}$

• 情形二：当 $\overrightarrow{MQ}=-2\overrightarrow{QF}$ 时（点 $Q$ 在外侧）： 展开为坐标分量式： $(x_Q-0,y_Q-km)=-2(-m-x_Q,0-y_Q)$ 分别对横、纵坐标拆解方程组： $\{\begin{array}{l}{x}_Q=2m+2x_Q⟹x_Q=-2m\\ y_Q-km=2y_y⟹y_Q=-km\end{array}\text{（式8）}$ 得到点 $Q$ 的坐标为 $(-2m,-km)$。 将（式8）代入椭圆标准方程中： $\frac{(-2m{)}^2}{4m^2}+\frac{(-km{)}^2}{3m^2}=1⟹\frac{4m^2}{4m^2}+\frac{k^2{m}^2}{3m^2}=1$ 两边同时消去非零常数项 $m^2$： $1+\frac{k^2}{3}=1⟹\frac{k^2}{3}=0⟹k=0$ 这与前置边界条件 $k\ne 0$ 产生严格代数冲突，故此分支无解（舍去）。

结论汇总： 满足约束条件的直线 $l$ 的斜率为 $\pm 2\sqrt{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆特征参数 $a,b,c$ 几何量方程的构建；点斜式直线方程截距的求解；共线向量长度变方向代数多解讨论（$\overrightarrow{MQ}=\pm 2\overrightarrow{QF}$）。
2. 核心方法：向量坐标法、定比分点消元法。
3. 避坑指南：
   • 第(2)问中最普遍的灾难性失分点是漏掉向量的方向性讨论，或者盲目去联立直线与椭圆用 $\Delta$ 和韦达定理硬算：如果直接把直线 $y=k(x+m)$ 代入椭圆方程，会产生包含 $k,m$ 的复杂二次方程，再利用两点间距离公式去表达 $|\overrightarrow{MQ}|$ 与 $|\overrightarrow{QF}|$，运算量会呈指数级放大，在考场限时环境下基本 100% 算错。请牢记圆锥曲线交点铁律：凡是看到题目中给出‘三个交点共线’（如过焦点的直线交坐标轴与曲线）且含有‘线段长度比例关系’（如 $|AB|=\lambda |BC|$），首选战略无条件是利用共线向量公式 $\overrightarrow{AB}=\pm \lambda \overrightarrow{BC}$ 将未知点坐标直接单向显式表征出来，再反手代入曲线方程。这种向量代换法能够绕开整个一元二次方程的求根公式与韦达定理，将运算难度直接降维。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出自高中数学解析几何核心经典大题，属于高考考查将几何线段比例转化为代数齐次恒等性质方程能力的标准压轴大题。
2. 结论推广: 涉及过椭圆焦点的直线与定比分点问题，常设直线点斜式方程与椭圆联立，结合焦半径公式或定比分点坐标公式建立关于斜率的方程求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切
• 1977-山西-08 解-直线与圆相切
• 2006-陕西文-05 单-直线与圆相切