2004-福建理-13 填-圆的一般方程与标准方程的互化

本题导读

本题考查点到直线的距离公式，以及直线与圆相交的弦长公式。

📌【题干】

Question

（2004年福建卷(理)） 直线 $x+2y=0$ 被曲线 $x^2+y^2-6x-2y-15=0$ 所截得的弦长等于 $4\sqrt{5}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 配方求解圆的标准特征量：将曲线一般方程 $x^2+y^2-6x-2y-15=0$ 的 $x$ 分量与 $y$ 分量分别进行配方，化为 $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=R^2$ 的标准型，从而提取出圆心坐标 $C(x_0,y_0)$ 与半径 $R$。
2. 控算弦心距 $d$：利用点到直线的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C_0|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，求出圆心到已知直线 $x+2y=0$ 的正交垂直距离。
3. 垂径定理降维求解：根据垂径定理，圆心、半弦长、弦心距三者天然构成直角三角形。利用勾股定理满足关系式 $R^2=d^2+{\left(\frac{L}{2}\right)}^2$，代入参数直接求出完整弦长 $L=2\sqrt{R^2-d^2}$。

✅【答案】

Success

$4\sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化简圆的一般方程为标准方程 已知圆的一般方程为： $x^2+y^2-6x-2y-15=0$ 将含 $x$ 与含 $y$ 的多项式分别进行分组并实施配方： $(x^2-6x+9)+(y^2-2y+1)-9-1-15=0$ $(x-3{)}^2+(y-1{)}^2=25$ 由此可知，该曲线是一个标准圆，其核心几何参数为： $\text{圆心坐标 }C(3,1),\text{半径 }R=\sqrt{25}=5$

第二步：求圆心到直线的距离（弦心距 $d$） 已知截线方程为 $x+2y=0$． 利用点到直线的距离公式，计算圆心 $C(3,1)$ 到该直线的正交距离 $d$： $d=\frac{|3+2\times 1|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$

第三步：利用垂径定理勾股模型求解弦长 设直线被圆截得的弦长为 $L$． 根据垂径定理，圆的半径 $R$、弦心距 $d$ 与半弦长 $\frac{L}{2}$ 构成直角三角形的边长特征：

${\left(\frac{L}{2}\right)}^2=R^2-d^2$ 代入已知度量数值： ${\left(\frac{L}{2}\right)}^2=5^2-(\sqrt{5}{)}^2=25-5=20$ 对半弦长进行开方取正值： $\frac{L}{2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ 因此，完整的几何截断弦长 $L$ 为： $L=2\times 2\sqrt{5}=4\sqrt{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：多项式配方法在圆方程互化中的基础算力；点到直线距离公式的准确代入；垂径定理直角三角形 ${\left(\frac{L}{2}\right)}^2+d^2=R^2$ 几何模型的联立。
2. 核心方法：几何弦长股弦法（优先于代数联立韦达定理法）。
3. 避坑指南：
   • 盲目使用联立方程与解析弦长公式导致运算冗余：部分学生习惯将直线 $x=-2y$ 代入圆方程展开成一元二次方程，再利用弦长公式 $|AB|=\sqrt{1+k^2}|y_1-y_2|$ 求解。虽然逻辑正确，但涉及高维繁分式的因式通分，在填空题中极易产生算术笔误，严重浪费考场时间。凡涉及圆的弦长问题，必须无条件首选“半径、弦心距、半弦长”构成的几何直角三角形进行秒杀。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是考查解析几何直线与二次图形（圆）相交度量的标准大纲基础填空题，属于低难度常规题。
2. 结论推广: 直线 $Ax+By+C=0$ 截圆所得的弦长 $L=2\sqrt{R^2-d^2}$，其中 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 为圆心到直线的距离。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切
• 1977-山西-08 解-直线与圆相切
• 2006-陕西文-05 单-直线与圆相切