2002-北京卷理-06 单-直线与椭圆的位置关系

本题导读

本题考查直线与圆锥曲线的位置关系判定。核心意图在于测试利用几何方法（圆心到直线距离）和代数方法（联立方程求判别式）判定相切问题的熟练度，以确定哪条曲线与给定直线仅有一个交点。

📌【题干】

Question

（2002年北京卷(理)） 给定四条曲线：① $x^2+y^2=\frac{5}{2}$, ② $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$, ③ $x^2+\frac{y^2}{4}=1$, ④ $\frac{x^2}{4}+y^2=1$. 其中与直线 $x+y-\sqrt{5}=0$ 仅有一个交点的曲线是 ()

A. ①②③　　　　　　B. ②③④　　　　　　C. ①②④　　　　　　D. ①③④

🔍【思路分析】

破题导航

直线与曲线仅有一个交点，即直线与该曲线相切。

1. 对于圆（曲线①）：利用几何法。计算圆心到直线的距离 $d$，若 $d=r$，则相切。
2. 对于椭圆（曲线②、③、④）：利用代数法。将直线方程代入椭圆方程消去一个未知数，得到一元二次方程，令判别式 $\Delta =0$ 检验是否相切；或者利用椭圆切线的充要条件 $a^2{k}^2+b^2=m^2$ （直线 $y=kx+m$）。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

给定直线方程为 $l:x+y-\sqrt{5}=0$，即 $y=-x+\sqrt{5}$。这里斜率 $k=-1$，截距 $m=\sqrt{5}$。

• 检验① $x^2+y^2=\frac{5}{2}$： 圆心为 $(0,0)$，半径 $r=\sqrt{\frac{5}{2}}$。 圆心到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|0+0-\sqrt{5}|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{5}{2}}$。 因为 $d=r$，所以直线与圆①相切，仅有一个交点。

• 检验椭圆相切条件： 直线 $y=kx+m$ 与椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 相切的充要条件是 $a^2{k}^2+b^2=m^2$。 本题中，直线 $y=-x+\sqrt{5}$，故 $k^2=1,m^2=5$。我们需要检验各个椭圆的 $a^2+b^2$ 是否等于 $5$。

• 检验② $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$： $a^2=9,b^2=4$。 $a^2{k}^2+b^2=9(1)+4=13\ne 5$。不相切。

• 检验③ $x^2+\frac{y^2}{4}=1$： $a^2=1,b^2=4$。 $a^2{k}^2+b^2=1(1)+4=5=m^2$。相切，仅有一个交点。

• 检验④ $\frac{x^2}{4}+y^2=1$： $a^2=4,b^2=1$。 $a^2{k}^2+b^2=4(1)+1=5=m^2$。相切，仅有一个交点。

综上，与直线仅有一个交点的曲线是①、③、④。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：点到直线的距离公式；直线与圆锥曲线相切的判定条件。
2. 核心方法：几何法（用于圆）；代数法或相切公式法（用于椭圆）。
3. 避坑指南：

• 联立方程计算繁琐：若对三个椭圆都采用代入消元然后算判别式 $\Delta =0$ 的方法，计算量较大且易错。熟记直线与椭圆相切的判别条件 $a^2{k}^2+b^2=m^2$ 能极大提高解题速度。
• 混淆 $a^2$ 和 $b^2$ 的位置：由于已知直线斜率 $k=-1$，所以 $k^2=1$，刚好满足 $a^2(1)+b^2=a^2+b^2=m^2=5$。这说明只要椭圆方程分母之和为 5 即相切。若 $k\ne \pm 1$ 时，必须严格对应 $x^2$ 和 $y^2$ 下方的系数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：考查解析几何中最基本的直线与二次曲线相切问题。
2. 结论推广： 直线 $y=kx+m$ 与二次曲线相切的条件：

• 圆 $x^2+y^2=r^2$：$r^2(1+k^2)=m^2$。
• 椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$：$a^2{k}^2+b^2=m^2$。
• 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$：$a^2{k}^2-b^2=m^2$。
• 抛物线 $y^2=2px$：$p=2km$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切
• 1977-山西-08 解-直线与圆相切
• 2006-陕西文-05 单-直线与圆相切