1997-全国卷文-11 单-椭圆关于直线的对称方程

本题导读

本题考查椭圆关于直线的对称变换，以及由对称变换求新方程。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(文)） 椭圆 $C$ 与椭圆 $\frac{(x-3{)}^2}{9}+\frac{(y-2{)}^2}{4}=1$ 关于直线 $x+y=0$ 对称，椭圆 $C$ 的方程是()

A. $\frac{(x+2{)}^2}{4}+\frac{(y+3{)}^2}{9}=1$　　　　　　　　　　B. $\frac{(x-2{)}^2}{9}+\frac{(y-3{)}^2}{4}=1$ C. $\frac{(x+2{)}^2}{9}+\frac{(y+3{)}^2}{4}=1$　　　　　　　　　　D. $\frac{(x-2{)}^2}{4}+\frac{(y-3{)}^2}{9}=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 关于 $x+y=0$ 对称的变换是 $(x,y)\mapsto (-y,-x)$。
2. 把变换代入原方程得新方程。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

关于直线 $x+y=0$ 的对称变换把点 $(x,y)$ 映为 $(-y,-x)$。原椭圆中心 $(3,2)$ 变为 $(-2,-3)$，且长、短半轴互换。将 $x\to -y$、$y\to -x$ 代入 $\frac{(x-3{)}^2}{9}+\frac{(y-2{)}^2}{4}=1$，得 $\frac{(-y-3{)}^2}{9}+\frac{(-x-2{)}^2}{4}=1$，即 $\frac{(x+2{)}^2}{4}+\frac{(y+3{)}^2}{9}=1$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆关于直线的对称方程

核心方法：关于 $x+y=0$ 对称即 $(x,y)\mapsto (-y,-x)$，原中心 $(3,2)$ 变为 $(-2,-3)$，长轴方向互换，方程为 $\frac{(x+2{)}^2}{4}+\frac{(y+3{)}^2}{9}=1$，选 A

避坑指南：对称变换中心与轴

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材椭圆的对称变换

结论推广：一般地，关于 $x+y=0$ 对称用 $(x,y)\mapsto (-y,-x)$

方法推广：对称变换中心轴

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2000-上海文-03 填-平移双曲线的焦点坐标
• 1998-上海文-11 填-双曲线的标准方程
• 1999-上海文-05 填-坐标系的平移