1996-全国卷文-11 单-椭圆的一般方程化标准方程

本题导读

本题考查椭圆的一般方程化标准方程，以及由标准方程求焦点坐标。

📌【题干】

Question

（1996年全国卷(文)） 椭圆 $25x^2-150x+9y^2+18y+9=0$ 的两个焦点坐标是 ()

A.$(-3,5)$，$(-3,-3)$　　B.$(3,3)$，$(3,-5)$　　C.$(1,1)$，$(-7,1)$　　D.$(7,-1)$，$(-1,-1)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 配方化为标准方程。
2. 确定中心、$a$、$b$，求 $c$ 与焦点。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

配方：$25(x^2-6x)+9(y^2+2y)+9=0$，即 $25(x-3{)}^2-225+9(y+1{)}^2-9+9=0$，得 $25(x-3{)}^2+9(y+1{)}^2=225$，即 $\frac{(x-3{)}^2}{9}+\frac{(y+1{)}^2}{25}=1$。中心为 $(3,-1)$，长轴在 $y$ 方向，$a=5$，$b=3$，$c=\sqrt{a^2-b^2}=4$。焦点坐标为 $(3,-1+4)=(3,3)$ 与 $(3,-1-4)=(3,-5)$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的一般方程化标准方程

核心方法：配方 $25(x-3{)}^2+9(y+1{)}^2=225$，即 $\frac{(x-3{)}^2}{9}+\frac{(y+1{)}^2}{25}=1$，中心 $(3,-1)$，$c=\sqrt{25-9}=4$，焦点 $(3,3),(3,-5)$，选 B

避坑指南：配方化标准方程定焦点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材椭圆标准方程

结论推广：一般地，配方化 $\frac{(x-h{)}^2}{a^2}+\frac{(y-k{)}^2}{b^2}=1$ 定中心焦点

方法推广：配方定焦点

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-12 单-椭圆焦点与中点坐标
• 1999-全国卷文-15 填-椭圆的通径与离心率
• 1997-全国卷文-11 单-椭圆关于直线的对称方程