1998-全国卷文-12 单-椭圆焦点与中点坐标

本题导读

本题考查椭圆焦点与中点坐标，以及由中点位置反求点坐标。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(文)） 椭圆 $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1$ 的焦点为 $F_1$ 和 $F_2$.点 $P$ 在椭圆上，如果线段 $P{F}_1$ 的中点 $M$ 在 $y$ 轴上，那么点 $M$ 的纵坐标是()

A. $\pm \frac{\sqrt{3}}{4}$　　　　　　　B. $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　C. $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　　D. $\pm \frac{3}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求椭圆半焦距，取 $F_1$ 坐标。
2. 由中点 $M$ 在 $y$ 轴得 $P$ 的横坐标，代入椭圆求纵坐标。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

椭圆的半长轴、半短轴分别为 $2\sqrt{3}$、$\sqrt{3}$，所以焦半距为 $c=\sqrt{12-3}=3$。取 $F_1=(-3,0)$，设 $P=(x,y)$，则线段 $P{F}_1$ 的中点为 $M=\left(\frac{x-3}{2},\frac{y}{2}\right)$。由于 $M$ 在 $y$ 轴上，$\frac{x-3}{2}=0$，所以 $x=3$。代入椭圆方程得 $\frac{3^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1$，即 $y^2=\frac{3}{4}$。因而点 $M$ 的纵坐标为 $\frac{y}{2}=\pm \frac{\sqrt{3}}{4}$，选 A。 （说明：本题原卷所印选项与题干文字错位，按题干计算所得值 $\pm \frac{\sqrt{3}}{4}$ 裁定为 A。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆焦点与中点坐标

核心方法：$c=\sqrt{12-3}=3$，取 $F_1(-3,0)$；$M$ 在 $y$ 轴得 $\frac{x-3}{2}=0$ 即 $x=3$，代入椭圆得 $y^2=\frac{3}{4}$，故 $M$ 纵坐标 $\frac{y}{2}=\pm \frac{\sqrt{3}}{4}$

避坑指南：中点横坐标为零

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材椭圆的焦点

结论推广：一般地，中点坐标用两端点坐标的算术平均

方法推广：中点横坐标为零

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2000-上海文-17 解-椭圆的弦中点坐标
• 1999-上海理-22 解-椭圆与曲线的公共点及面积函数
• 2001-上海文-18 解-椭圆直角焦点三角形