1997-上海理-07 填-椭圆参数方程与焦点

本题导读

本题考查椭圆的参数方程与焦点，以及参数方程化为标准方程。

📌【题干】

Question

（1997年上海卷(理)） 二次曲线 $\{\begin{array}{l}x=5\cos \theta \\ y=3\sin \theta \end{array}$（$\theta$ 是参数）的左焦点坐标是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 消去参数 $\theta$ 化标准方程。
2. 由 $a,b$ 求 $c$，写焦点坐标。

✅【答案】

Success

$(-4,0)$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\{\begin{array}{l}x=5\cos \theta \\ y=3\sin \theta \end{array}$ 得 $\cos \theta =\frac{x}{5}$，$\sin \theta =\frac{y}{3}$，故 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$。于是 $a=5,b=3$，$c=\sqrt{a^2-b^2}=4$，焦点在 $x$ 轴上，左焦点为 $(-4,0)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆参数方程与焦点

核心方法：参数方程 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$，$a=5,b=3,c=4$，左焦点 $(-4,0)$

避坑指南：化标准方程求焦点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材椭圆参数方程

结论推广：一般地，$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 焦点 $(\pm c,0)$，$c^2=a^2-b^2$

方法推广：化标准方程求焦点

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 27.02 参数方程

类题演练 (Links)

• 1998-上海理-06 填-极坐标与椭圆方程
• 1998-全国卷文-12 单-椭圆焦点与中点坐标
• 1999-全国卷文-15 填-椭圆的通径与离心率