1996-上海理-07 单-椭圆中心的轨迹

本题导读

本题考查椭圆中心的轨迹，以及配方法把方程化为标准式。

📌【题干】

Question

（1996年上海卷(理)） 若 $\theta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，则椭圆 $x^2+2y^2-2\sqrt{2}x\cos \theta +4y\sin \theta =0$ 的中心轨迹是 ()

A. B. C. D.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 配方求中心坐标（用 $\theta$ 表示）。
2. 消去 $\theta$ 得中心轨迹方程。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

配方：$x^2-2\sqrt{2}x\cos \theta +2y^2+4y\sin \theta =0$，即 $(x-\sqrt{2}\cos \theta {)}^2+2(y+\sin \theta {)}^2=2{\cos }^2\theta +2{\sin }^2\theta =2$。故中心为 $(\sqrt{2}\cos \theta ,-\sin \theta )$。设 $X=\sqrt{2}\cos \theta$、$Y=-\sin \theta$，则 $\frac{X^2}{2}+Y^2={\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$，且 $\theta \in [0,\frac{\pi }{2}]$ 时 $X\in [0,\sqrt{2}]$、$Y\in [-1,0]$。故中心轨迹是椭圆 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 在第四象限及两轴上的部分，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆中心的轨迹

核心方法：配方 $x^2-2\sqrt{2}x\cos \theta +2y^2+4y\sin \theta =0$，即 $(x-\sqrt{2}\cos \theta {)}^2+2(y+\sin \theta {)}^2=2{\cos }^2\theta +2{\sin }^2\theta =2$，中心 $(\sqrt{2}\cos \theta ,-\sin \theta )$，$\theta \in [0,\frac{\pi }{2}]$ 时中心轨迹为椭圆 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 在第一、四象限部分，选 D

避坑指南：配方法求中心轨迹

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材椭圆的标准方程

结论推广：一般地，配方法求动曲线的中心

方法推广：配方法求中心轨迹

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1997-上海理-07 填-椭圆参数方程与焦点
• 1999-上海文-22 解-椭圆旋转与公共点
• 1998-上海理-06 填-极坐标与椭圆方程