1992-全国卷理-13 单-直线关于直线的对称

本题导读

本题考查直线关于特殊直线的对称性，以及轴对称变换的代数表示。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(理)） 已知直线 $l_1$ 和 $l_2$ 夹角的平分线为 $y=x$，如果 $l_1$ 的方程是 $ax+by+c=0$ ($ab>0$)，那么 $l_2$ 的方程是 ()

A. $bx+ay+c=0$　　　　　　　　　　　　B. $ax-by+c=0$ C. $bx+ay-c=0$　　　　　　　　　　　　D. $bx-ay+c=0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化几何条件：直线 $l_1$ 与 $l_2$ 夹角的平分线为 $y=x$，意味着直线 $l_1$ 上任意一点关于直线 $y=x$ 对称的点都必然在直线 $l_2$ 上。也就是说，直线 $l_1$ 与 $l_2$ 关于直线 $y=x$ 互为轴对称。
2. 应用对称变换规律：在平面直角坐标系中，点 $(x,y)$ 关于直线 $y=x$ 对称的点的坐标为 $(y,x)$。
3. 代换求新方程：将已知直线 $l_1$ 方程中的 $x$ 整体替换为 $y$，将 $y$ 整体替换为 $x$，化简整理后即为直线 $l_2$ 的方程。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解： 根据角平分线的几何性质，直线 $l_1$ 与 $l_2$ 关于它们的角平分线 $y=x$ 互为轴对称图形。

设 $P(x,y)$ 是直线 $l_2$ 上的任意一点，则点 $P$ 关于直线 $y=x$ 的对称点 $P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$ 必定在直线 $l_1$ 上。 根据平面解析几何的对称变换公式，点 $(x,y)$ 关于直线 $y=x$ 对称的点的坐标互换，即： $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=y\\ y^{\prime }=x\end{array}$

因为点 $P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$ 在直线 $l_1:a{x}^{\prime }+b{y}^{\prime }+c=0$ 上，将上述变换关系代入 $l_1$ 的方程中： $a(y)+b(x)+c=0$

调整一下未知数的排列顺序，写成标准的一般式方程： $bx+ay+c=0$

这就是直线 $l_2$ 的方程。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：图形的轴对称变换，关于特殊直线 $y=x$ 对称的代数变换法则。
2. 核心方法：坐标互换代换法。
   • 关于 $y=x$ 对称：把原方程中的 $x$ 换成 $y$，$y$ 换成 $x$。
   • 关于 $y=-x$ 对称：把原方程中的 $x$ 换成 $-y$，$y$ 换成 $-x$。
   • 关于 $x$ 轴对称：把原方程中的 $y$ 换成 $-y$。
   • 关于 $y$ 轴对称：把原方程中的 $x$ 换成 $-x$。
3. 避坑指南：容易由于思维混乱错记成垂直的斜率负倒数关系（错选 D）。务必分清“两条直线互相垂直”与“两条直线关于某直线对称”的区别。关于 $y=x$ 对称只是单纯的系数位置对调，各因式的正负号完全不发生改变。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于解析几何对称性板块的经典基本功题。直接取材于高中数学必修中“直线的一般式方程与对称问题”一节的课后巩固练习题。
2. 结论推广：若直线 $l_1$ 的方程为 $Ax+By+C=0$，则：
   • 它关于 $y=x$ 对称的直线方程恒为 $Bx+Ay+C=0$；
   • 它关于 $y=-x$ 对称的直线方程恒为 $Bx-Ay+C=0$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.05 对称性问题

类题演练 (Links)

• 1993-新高考文-03 单-直线关于坐标轴的对称

• 1998-全国卷文-12 单-椭圆焦点与中点坐标

• 1997-全国卷文-11 单-椭圆关于直线的对称方程