1990-全国卷理-07 单-直线关于直线的对称

本题导读

本题考查直线方程与几何性质，以及平面图形的对称变换（关于直线 $y=x$ 对称）。

📌【题干】

Question

（1990年全国卷(理)） 如果直线 $y=ax+2$ 与直线 $y=3x-b$ 关于直线 $y=x$ 对称，那么 ()

A. $a=\frac{1}{3},b=6$　 B. $a=\frac{1}{3},b=-6$　 C. $a=3,b=-2$　 D. $a=3,b=6$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解几何对称规律：点 $(x,y)$ 关于直线 $y=x$ 的对称点为 $(y,x)$．因此，函数及其反函数的图象关于直线 $y=x$ 对称。
2. 求对称直线方程：将直线 $y=ax+2$ 中的 $x$ 与 $y$ 互换，解出新的 $y$ 表达式，该表达式即为对称直线的解析式。
3. 待定系数比较：将求得的对称直线解析式与已知直线 $y=3x-b$ 进行同类项系数比对，列出方程组解出 $a$ 和 $b$．

✍ 【详细解析】

解：将直线 $y=ax+2$ 中的 $x$ 与 $y$ 互换，得到其关于 $y=x$ 对称的直线方程： $x=ay+2$

变形移项得： $ay=x-2$

$a\ne 0$（若 $a=0$，该直线变为 $y=2$，其关于 $y=x$ 的对称线为 $x=2$，不符合 $y=3x-b$ 的形式）。 两边同除以 $a$，得： $y=\frac{1}{a}x-\frac{2}{a}$

因为这条对称直线就是 $y=3x-b$，对照对应项系数可得方程组： $\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}=3\\ -\frac{2}{a}=-b\end{array}$

解该方程组： 由第一式得：$a=\frac{1}{3}$． 将 $a=\frac{1}{3}$ 代入第二式得：$-2\times 3=-b⟹b=6$．

综上所述，$a=\frac{1}{3},b=6$．

故正确选项为 (A)．

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：关于直线 $y=x$ 对称的图形变换规律，一元一次方程组的求解。
2. 核心方法：
   • 反函数代换法：直接将原方程中的 $x$ 与 $y$ 位置颠倒，化简为斜截式进行待定系数比对。
   • 特殊点法：在直线 $y=ax+2$ 上取 $y$ 轴截距点 $(0,2)$，它关于 $y=x$ 的对称点 $(2,0)$ 必然在直线 $y=3x-b$ 上。代入得 $0=3\times 2-b⟹b=6$．再利用两互为反函数的直线斜率互为倒数（$a\cdot 3=1$）直接锁定 $a=\frac{1}{3}$，此法在选择题中尤为高效。
3. 避坑指南：在求得 $\frac{2}{a}=b$ 且 $a=\frac{1}{3}$ 后，计算 $b$ 的值时注意不要把倒数关系算错，避免误选为 (B) 或其他选项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中对“反函数”几何特征的定义，即函数 $y=f(x)$ 与其反函数 $y=f^{-1}(x)$ 的图象关于直线 $y=x$ 对称。此性质在解析几何线线对称中属于最基础的构型。
2. 结论推广：若直线 $A_{1}x+B_{1}y+C_1=0$ 与直线 $A_{2}x+B_{2}y+C_2=0$ 关于直线 $y=x$ 对称，则只需将第一条直线的 $x$ 与 $y$ 系数互换，即可得到第二条直线的特征。即有 $A_2=B_1$，$B_2=A_1$，$C_2=C_1$（或对应成比例）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.05 对称性问题

类题演练 (Links)

• 1991-三南-11 单-点关于直线的对称点
• 1992-全国文-08 单-点关于直线的对称
• 1992-全国卷理-13 单-直线关于直线的对称