1996-上海理-05 单-椭圆旋转后的方程

本题导读

本题考查椭圆绕焦点旋转后的方程，以及旋转的坐标变换。

📌【题干】

Question

（1996年上海卷(理)） 将椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ 绕其左焦点按逆时针方向旋转 $90^{\circ }$ 后所得的椭圆方程是 ()

A.$\frac{(x+4{)}^2}{25}+\frac{(y-4{)}^2}{9}=1$　　B.$\frac{(x+4{)}^2}{25}+\frac{(y+4{)}^2}{9}=1$ C.$\frac{(x+4{)}^2}{9}+\frac{(y-4{)}^2}{25}=1$　　D.$\frac{(x+4{)}^2}{9}+\frac{(y+4{)}^2}{25}=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求椭圆左焦点坐标。
2. 绕焦点逆时针转 $90^{\circ }$ 后确定新中心与轴方向。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ 的 $a=5$、$b=3$、$c=4$，左焦点为 $(-4,0)$。绕左焦点逆时针旋转 $90^{\circ }$：原中心 $(0,0)$ 绕 $(-4,0)$ 逆时针转 $90^{\circ }$ 变为 $(-4,4)$；长轴由 $x$ 方向转为 $y$ 方向。故新椭圆方程为 $\frac{(x+4{)}^2}{9}+\frac{(y-4{)}^2}{25}=1$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆旋转后的方程

核心方法：椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ 左焦点 $(-4,0)$，绕左焦点逆时针转 $90^{\circ }$ 后中心为 $(-4,4)$，长轴转竖，方程为 $\frac{(x+4{)}^2}{9}+\frac{(y-4{)}^2}{25}=1$，选 C

避坑指南：旋转后中心与轴互换

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材椭圆的几何变换

结论推广：一般地，旋转后中心移动、轴方向互换

方法推广：旋转后中心与轴互换

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1999-上海文-05 填-坐标系的平移
• 1997-全国卷文-11 单-椭圆关于直线的对称方程
• 1998-上海文-11 填-双曲线的标准方程