1991-全国文-03 单-点关于直线的对称

本题导读

本题考查点关于直线的对称，以及中点共线与连线垂直两个条件的联立。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(文)） 点 $P(2,5)$ 关于直线 $x+y=0$ 的对称点的坐标是()

A. $(5,2)$　　　　　　B. $(2,-5)$　　　　　　C. $(-5,-2)$　　　　　　D. $(-2,-5)$

🔍【思路分析】

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设对称点 $(u,v)$，中点在 $x+y=0$ 上且连线垂直于该直线。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

设对称点为 $P\prime (u,v)$。中点为 $\left(\frac{2+u}{2},\frac{5+v}{2}\right)$，它在 $x+y=0$ 上，故 $(2+u)+(5+v)=0$，即 $u+v+7=0$；又连线 $PP\prime$ 垂直于 $x+y=0$（方向向量 $(1,-1)$），故 $(u-2,v-5)\cdot (1,-1)=0$，即 $u-v+3=0$。解得 $u=-5,v=-2$。故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：点关于直线的对称

核心方法：设对称点 $(u,v)$，中点 $(\frac{2+u}{2},\frac{5+v}{2})$ 在 $x+y=0$ 上，且 $PP\prime$ 垂直于该直线，解 $(-5,-2)$

避坑指南：中点与垂直条件联立

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：点关于直线的对称

结论推广：中点共线 + 连线垂直

方法推广：两条件联立

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.05 对称性问题

类题演练 (Links)

• 1993-新高考文-03 单-直线关于坐标轴的对称
• 1997-全国卷文-11 单-椭圆关于直线的对称方程
• 1992-全国文-08 单-点关于直线的对称