1994-全国卷理-24 解-抛物线与对称变换求方程

本题导读

本题考查抛物线的标准方程、点关于直线的对称点问题。核心在于待定系数法、坐标变换与对称代换法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1994年全国卷(理)） 已知直线 $l$ 过坐标原点，抛物线 $C$ 顶点在原点，焦点在 $x$ 轴正半轴上.若点 $A(-1,0)$ 和点 $B(0,8)$ 关于 $l$ 的对称点都在 $C$ 上，求直线 $l$ 和抛物线 $C$ 的方程.

🔍【思路分析】

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设出基本方程：

• 根据抛物线 $C$ 顶点在原点，焦点在 $x$ 轴正半轴上，可设其标准方程为 $y^2=2px$（$p>0$）。
• 直线 $l$ 过原点，可设其方程为 $y=kx$。(注意：若 $l$ 为 $y$ 轴， $A(-1,0)$ 的对称点为 $(1,0)$， $B(0,8)$ 的对称点仍为 $(0,8)$。由于 $(0,8)$ 不在 $y^2=2px$ 上，可知 $l$ 的斜率存在。) 求解对称点坐标：
• 设点 $A(-1,0)$ 关于直线 $y=kx$ 的对称点为 $A^{\prime }(x_1,y_1)$。利用线段 $A{A}^{\prime }$ 被 $l$ 垂直平分建立关于 $x_1,y_1$ 的方程组解出坐标。
• 同理，设点 $B(0,8)$ 关于直线 $y=kx$ 的对称点为 $B^{\prime }(x_2,y_2)$，解出坐标。 联立消元求解：将 $A^{\prime }$ 和 $B^{\prime }$ 的坐标代入抛物线方程 $y^2=2px$，消去参数 $p$，解出斜率 $k$，进而求出 $p$ 的值。

✅【答案】

Success

直线 $l$：$y=\frac{1+\sqrt{5}}{2}x$，抛物线 $C$：$y^2=\frac{4\sqrt{5}}{5}x$

✍【详细解析】

Abstract

解： 由题意，设抛物线 $C$ 的方程为： $y^2=2px(p>0)$ 设直线 $l$ 的方程为 $y=kx$。

求点 $A(-1,0)$ 关于直线 $l$ 的对称点 $A^{\prime }(x_1,y_1)$ 因为 $A$ 与 $A^{\prime }$ 关于 $y=kx$ 对称，所以：

• 线段 $A{A}^{\prime }$ 的中点 $\left(\frac{x_1-1}{2},\frac{y_1}{2}\right)$ 在直线 $y=kx$ 上：$\frac{y_1}{2}=k\cdot \frac{x_1-1}{2}⟹y_1=k(x_1-1)$ ①
• 直线 $A{A}^{\prime }$ 与直线 $l$ 互相垂直：$\frac{y_1-0}{x_1-(-1)}\cdot k=-1⟹x_1+1=-k{y}_1$ ②

将 ① 代入 ② 得： $x_1+1=-k\cdot k(x_1-1)⟹x_1+1=-k^2{x}_1+k^2$ $(1+k^2)x_1=k^2-1⟹x_1=\frac{k^2-1}{1+k^2}$ 代入 ① 得： $y_1=k\left(\frac{k^2-1}{1+k^2}-1\right)=k\cdot \frac{-2}{1+k^2}=\frac{-2k}{1+k^2}$ 由于点 $A^{\prime }$ 在抛物线 $C$ 上，代入 $y^2=2px$ 得： ${\left(\frac{-2k}{1+k^2}\right)}^2=2p\cdot \frac{k^2-1}{1+k^2}⟹\frac{4k^2}{1+k^2}=2p(k^2-1)\text{(3)}$ 由 $p>0$ 且 $\frac{4k^2}{1+k^2}>0$，可知 $k^2-1>0⟹k^2>1$。

求点 $B(0,8)$ 关于直线 $l$ 的对称点 $B^{\prime }(x_2,y_2)$ 同理，根据对称性质：

• 中点在直线 $l$ 上：$\frac{y_2+8}{2}=k\cdot \frac{x_2}{2}⟹y_2+8=k{x}_2$ ④
• 垂直关系：$\frac{y_2-8}{x_2-0}\cdot k=-1⟹k(y_2-8)=-x_2⟹x_2=-k(y_2-8)$ ⑤

将 ⑤ 代入 ④ 得： $y_2+8=k\cdot [-k(y_2-8)]⟹y_2+8=-k^2{y}_2+8k^2$ $(1+k^2)y_2=8(k^2-1)⟹y_2=\frac{8(k^2-1)}{1+k^2}$ 代入 ⑤ 得： $x_2=-k\left(\frac{8(k^2-1)}{1+k^2}-8\right)=-k\cdot \frac{-16}{1+k^2}=\frac{16k}{1+k^2}$ 由于点 $B^{\prime }$ 在抛物线 $C$ 上，代入 $y^2=2px$ 得： ${\left[\frac{8(k^2-1)}{1+k^2}\right]}^2=2p\cdot \frac{16k}{1+k^2}⟹\frac{64(k^2-1{)}^2}{1+k^2}=32pk\text{⑥}$

联立 ③ 和 ⑥ 求解 $k$ 和 $p$ 由 ③ 式变形得： $2p=\frac{4k^2}{(1+k^2)(k^2-1)}$ 将 $2p$ 代入 ⑥ 式中（将 ⑥ 两边除以 $16$ 得 $\frac{4(k^2-1{)}^2}{1+k^2}=2pk$）： $\frac{4(k^2-1{)}^2}{1+k^2}=\frac{4k^2}{(1+k^2)(k^2-1)}\cdot k$ 两边消去共同分母 $1+k^2$ 且约去 $4$： $(k^2-1{)}^2=\frac{k^3}{k^2-1}$ $(k^2-1{)}^3=k^3$ 两边开立方根得： $k^2-1=k⟹k^2-k-1=0$ 解得： $k=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$ 因为 $k^2=k+1$，代入满足先前 $k^2>1$ 的条件。

将 $k^2-1=k$ 代入 ③ 式中化简求 $p$： $2p=\frac{4k^2}{(1+k^2)\cdot k}=\frac{4k}{1+k^2}$ 因为 $1+k^2=1+(k+1)=k+2$，所以： $2p=\frac{4k}{k+2}$

• 当 $k=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 时： $2p=\frac{4\cdot \frac{1+\sqrt{5}}{2}}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}+2}=\frac{2+2\sqrt{5}}{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}=\frac{4(1+\sqrt{5})}{\sqrt{5}(\sqrt{5}+1)}=\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$
• 当 $k=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ 时： $2p=\frac{4\cdot \frac{1-\sqrt{5}}{2}}{\frac{1-\sqrt{5}}{2}+2}=\frac{2-2\sqrt{5}}{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}=\frac{4(1-\sqrt{5})}{-\sqrt{5}(1-\sqrt{5})}=-\frac{4}{\sqrt{5}}<0$ 因为要求 $p>0$，此解舍去。

综上所述，唯一合题意的参数为： $k=\frac{1+\sqrt{5}}{2},2p=\frac{4\sqrt{5}}{5}$

最终方程：

• 直线 $l$ 的方程为：$y=\frac{1+\sqrt{5}}{2}x$
• 抛物线 $C$ 的方程为：$y^2=\frac{4\sqrt{5}}{5}x$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：点 $P(x_0,y_0)$ 关于直线 $Ax+By+C=0$ 的对称点坐标公式应用，以及二次曲线方程的待定系数法。 核心方法：通过对称几何充要条件（中点在轴上，连线与轴垂直）建立方程组，进行整体代数消元。 避坑指南：

• 求解对称点时，代数式极易写错。建议在最后联立消元时，利用 $k^2-1=k$ 这一特征方程形式对分式进行整体降幂代换，能大幅度降低运算量。
• 最终求出 $k$ 的两根后，必须代回 $p$ 的范围检验（$p>0$），漏掉检验会导致多解失分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题考查了解析几何中的经典算子——“平面轴对称变换”。将对称变换后的点约束在抛物线上，属于高考压轴题中检测数形结合及高负载代数化简能力的经典综合题。 结论推广：若点 $A(-d,0)$ 和点 $B(0,4d)$ 关于过原点的直线 $y=kx$ 的对称点都在抛物线 $y^2=2px$ 上，经过完全相同的无量纲化推导，其控制斜率 $k$ 对应的方程依然是恒定的黄金分割比例方程 $k^2-k-1=0$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 16.05 对称性问题

类题演练 (Links)

• 1997-全国卷文-11 单-椭圆关于直线的对称方程
• 2003-上海文-21 解-向量圆对称抛物线
• 2007-四川文-10 单-抛物线对称两点弦长