1992-上海-22 解-复数的辐角主值范围

本题导读

本题考查复数辐角主值的范围。核心在于用模的不等式约束确定实部取值范围，进而定辐角范围。

📌【题干】

Question

（1992年上海卷） 设 $z=1-\mathrm{i}$，$w=z+a\mathrm{i}$，其中 $a$ 是实数，且 $|w|\le \sqrt{2}$，求 $w$ 的辐角主值的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

写出 $w=1+(a-1)\mathrm{i}$，由 $|w|\le \sqrt{2}$ 定 $a$ 范围，再用 $\tan \theta =a-1$ 定辐角。

✅【答案】

Success

$\theta \in \left[0,\frac{\pi }{4}\right]\cup \left[\frac{7\pi }{4},2\pi \right)$

✍【详细解析】

Abstract

$w=z+a\mathrm{i}=1-\mathrm{i}+a\mathrm{i}=1+(a-1)\mathrm{i}$。$|w|=\sqrt{1+(a-1{)}^2}\le \sqrt{2}$，得 $1+(a-1{)}^2\le 2$，即 $(a-1{)}^2\le 1$，故 $0\le a\le 2$，即 $-1\le a-1\le 1$。设 $w$ 的辐角主值为 $\theta$，则 $\tan \theta =a-1\in [-1,1]$，且 $\mathrm{Re}(w)=1>0$。故 $\theta \in \left[0,\frac{\pi }{4}\right]\cup \left[\frac{7\pi }{4},2\pi \right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的辐角主值范围

核心方法：$z=1-\mathrm{i}$，$w=1+(a-1)\mathrm{i}$，$|w|\le \sqrt{2}$ 得 $0\le a\le 2$，$\tan \theta =a-1$，$\theta \in [0,\frac{\pi }{4}]\cup [\frac{7\pi }{4},2\pi )$

避坑指南：模的几何意义

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数辐角主值的范围

结论推广：$|w|\le \sqrt{2}$ 的几何意义

方法推广：模的几何意义

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1994-上海-22 解-复数的辐角主值与实数条件
• 1993-旧高考文-29 解-复数的三角形式与辐角条件
• 1992-三南-01 单-复数辐角主值