1990-上海卷-27 解-复数辐角的最值

本题导读

本题考查复数的辐角主值与几何意义、复平面的两点间向量表示。核心在于几何解法（圆周角与外角定理）、代数三角化解法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1990年上海卷） 复平面上点 $A,B$ 对应的复数分别为 $z_1=2,z_2=-3$，点 $P$ 对应的复数为 $z$. $\frac{z-z_1}{z-z_2}$ 的辐角主值为 $\phi$.当点 $P$ 在以原点为圆心， 1 为半径的上半圆周（不包括两个端点）上运动时，求 $\phi$ 的最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 几何意义转化：
   • 复数 $z-z_1$ 对应向量 $\overrightarrow{AP}$，其辐角为射线 $AP$ 与实轴正方向的夹角 $\alpha$。
   • 复数 $z-z_2$ 对应向量 $\overrightarrow{BP}$，其辐角为射线 $BP$ 与实轴正方向的夹角 $\beta$．
   • 根据复数除法的辐角减法法则， $\arg \left(\frac{z-z_1}{z-z_2}\right)=\arg (z-z_1)-\arg (z-z_2)=\alpha -\beta$。
   • 在 $△ABP$ 中，由三角形外角定理可知， $\alpha -\beta =\angle APx$（ $AP$ 的倾斜角） $-\angle BPx$（ $BP$ 的倾斜角） $=\angle APB$。因此，辐角主值 $\phi$ 对应几何上的顶角 $\angle APB$（或其补角，需通过位置判断）。
2. 约束条件建立：
   • 点 $P(x,y)$ 在上半圆周 $x^2+y^2=1$ ($y>0$) 上运动，可引入参数方程 $x=\cos \theta ,y=\sin \theta$，其中 $\theta \in (0,\pi )$。
3. 最值计算：
   • 代数法：将 $z=\cos \theta +\text{i}\sin \theta$ 直接代入分式中，通过复数代数除法化简为 $X+\text{i}Y$ 形式，利用 $\tan \phi =\frac{Y}{X}$ 建立关于 $\theta$ 的三角函数关系式，求导或利用三角公式求最值。
   • 几何法：通过构造经过 $A,B,P$ 三点的动态辅助圆，利用圆周角、圆心角以及相切边界求 $\angle APB$ 的最小值。

✅【答案】

Success

${\phi }_{\min }=\pi -\arctan \frac{5\sqrt{6}}{12}$

✍【详细解析】

Abstract

一、 辐角主值的几何化表示 已知 $A(2,0)$， $B(-3,0)$。设动点 $P$ 的复数为 $z=x+\text{i}y$。 根据题意，点 $P$ 在以原点为圆心、1为半径的上半圆周上运动，其方程为： $x^2+y^2=1(y>0,-1<x<1)$

设向量 $\overrightarrow{BP}=z-z_2=z+3$，其倾斜角为 $\beta$； 设向量 $\overrightarrow{AP}=z-z_1=z-2$，其倾斜角为 $\alpha$。

因为点 $P$ 的纵坐标 $y>0$，而 $A,B$ 均在实轴上，且 $B(-3,0)$ 在左侧， $A(2,0)$ 在右侧。 在直角坐标系中观察几何相对位置，射线 $BP$ 的倾斜角 $\beta$ 必然小于射线 $AP$ 的倾斜角 $\alpha$，即 $\alpha >\beta$。

根据复数除法的辐角运算法则： $\arg \left(\frac{z-z_1}{z-z_2}\right)=\arg (z-z_1)-\arg (z-z_2)=\alpha -\beta$ 由于 $0<\beta <\alpha <\pi$，所以 $0<\alpha -\beta <\pi$，该值直接落在辐角主值区间 $(0,\pi ]$ 内。 因此，辐角主值 $\phi =\alpha -\beta$。

在 $△ABP$ 中，由三角形外角定理可知： $\alpha =\beta +\angle APB⟹\angle APB=\alpha -\beta =\phi$

二、 运用参数方程代数化简 引入参数 $\theta$，设 $z=\cos \theta +\text{i}\sin \theta$，其中 $\theta \in (0,\pi )$。 代入商式中： $\frac{z-2}{z+3}=\frac{(\cos \theta -2)+\text{i}\sin \theta }{(\cos \theta +3)+\text{i}\sin \theta }$

分子分母同乘以分母的共轭复数 $[(\cos \theta +3)-\text{i}\sin \theta ]$： $\frac{z-2}{z+3}=\frac{[(\cos \theta -2)+\text{i}\sin \theta ][(\cos \theta +3)-\text{i}\sin \theta ]}{(\cos \theta +3{)}^2+{\sin }^2\theta }$

化简分母： $({\cos }^2\theta +6\cos \theta +9)+{\sin }^2\theta =10+6\cos \theta$

化简分子： $\text{实部}=(\cos \theta -2)(\cos \theta +3)+{\sin }^2\theta ={\cos }^2\theta +\cos \theta -6+{\sin }^2\theta =1+\cos \theta -6=\cos \theta -5$ $\text{虚部}=\sin \theta (\cos \theta +3)-\sin \theta (\cos \theta -2)=5\sin \theta$

得到化简后的复数形式： $\frac{z-2}{z+3}=\frac{\cos \theta -5}{10+6\cos \theta }+\text{i}\cdot \frac{5\sin \theta }{10+6\cos \theta }$

因为 $\theta \in (0,\pi )$，分母 $10+6\cos \theta >0$，虚部分子 $5\sin \theta >0$，实部分子 $\cos \theta -5<0$。 由于实部为负、虚部为正，该复数落在第二象限，其辐角主值 $\phi \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$。 根据直角坐标三角函数定义，有： $\tan \phi =\frac{\text{虚部}}{\text{实部}}=\frac{5\sin \theta }{\cos \theta -5}$

三、 求解 $\phi$ 的最小值 由于 $\phi \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$，在此区间内，正切函数 $y=\tan \phi$ 是严格单调递增的负值函数。 要使 $\phi$ 取得最小值，等价于使 $\tan \phi$ 取得最小值。

设 $f(\theta )=\frac{5\sin \theta }{\cos \theta -5}$，对 $\theta$ 求导： $f^{\prime }(\theta )=5\cdot \frac{\cos \theta (\cos \theta -5)-\sin \theta (-\sin \theta )}{(\cos \theta -5{)}^2}=5\cdot \frac{{\cos }^2\theta -5\cos \theta +{\sin }^2\theta }{(\cos \theta -5{)}^2}=5\cdot \frac{1-5\cos \theta }{(\cos \theta -5{)}^2}$

令 $f^{\prime }(\theta )=0$，得： $1-5\cos \theta =0⟹\cos \theta =\frac{1}{5}$ 因为 $\frac{1}{5}\in (0,1)$，对应的 ${\theta }_0=\arccos \frac{1}{5}\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 属于定义域内部。

分析导数符号确定单调性：

• 当 $\theta \in (0,{\theta }_0)$ 时， $\cos \theta >\frac{1}{5}⟹1-5\cos \theta <0⟹f^{\prime }(\theta )<0$，函数单调递减；
• 当 $\theta \in ({\theta }_0,\pi )$ 时， $\cos \theta <\frac{1}{5}⟹1-5\cos \theta >0⟹f^{\prime }(\theta )>0$，函数单调递增。

因此，当 $\cos \theta =\frac{1}{5}$ 时， $f(\theta )$ 取得极小值（亦为全域最小值）。 此时对应 $\sin \theta =\sqrt{1-{\left(\frac{1}{5}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$。

代入极值点计算 $\tan \phi$ 的最小值： $\tan {\phi }_{\min }=\frac{5\times \frac{2\sqrt{6}}{5}}{\frac{1}{5}-5}=\frac{2\sqrt{6}}{-\frac{24}{5}}=-\frac{5\sqrt{6}}{12}$

利用反三角函数表示对应的角 $\phi$： ${\phi }_{\min }=\pi -\arctan \left(\frac{5\sqrt{6}}{12}\right)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数商式的辐角几何转化，复数代数式有理化除法，商导数公式 ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }$ 提取极值，反三角函数钝角区间的单值表达。
2. 核心方法：
   • 欧拉参数化单变量化简法：利用单位圆特征设 $z=\cos \theta +\text{i}\sin \theta$，将一个复平面上的二维轨迹动点问题，收拢为单一实变量 $\theta$ 的非线性三角分式，利用导数工具实现了解题流程的标准化。
3. 避坑指南：
   • 混淆象限导致反三角符号写错：本题中实部为负、虚部为正，对应的辐角 $\phi$ 是一个钝角。如果直接地写 $\phi =\arctan \left(-\frac{5\sqrt{6}}{12}\right)$，由于主值区间限制，算出来的会是一个第四象限的负锐角，这在逻辑上是出错的。钝角必须用 $\pi -\arctan |k|$ 形式进行校正。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题以复数除法辐角为壳，实质考查“动点对定线段张角”的几何模型，是圆上动点视角问题的复数表述，背景为三角形外角与倾斜角关系。

结论推广：设 $A(a,0)$、$B(b,0)$（$a>b$），$P$ 在单位圆上半圆运动，则 $\angle APB$ 的最大值可由 $\cos \theta =\frac{1}{ab}$ 型条件确定；一般地，动点对定线段张角的最值可转化为 $\tan \phi =\frac{k\sin \theta }{c+\cos \theta }$ 型函数求极值。

方法推广：①几何化——将辐角主值转化为倾斜角之差，再用外角定理化归为张角；②代数化——参数设点、复数除法化简，实虚部定象限；③函数化——利用 $\tan \phi$ 单调性，求导确定极值点。三步“几何—代数—函数”联动是处理圆上动点视角问题的通法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1991-上海-25 解-复数的辐角与轨迹
• 1992-上海-22 解-复数的辐角主值范围
• 1992-三南-01 单-复数辐角主值